Question

13．如图所示，两平行金属板水平放置，相距为d，两极板接在电压可调的电源上，两金属板之间存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，金属板右侧有一宽度为d的方向垂直纸面向里的足够长的匀强磁场，磁感应强度也为B，且边界与水平方向的夹角为60°．金属板中间有一粒子发射源，会沿水平方向发射出电性不同的两种带电粒子，调节可变电源的电压，当电源电压为U使，粒子恰好能沿直线飞出金属板，粒子离开金属板进入有界磁场后分成两束，经磁场偏转后恰好同时从两边界离开磁场，而且从磁场右边界离开的粒子的速度方向恰好与磁场边界垂直，粒子之间的相互作用不计，粒子的重力不计，试求：
（1）带电粒子从发射源发出时的速度大小；
（2）带负电粒子的比荷和带正电粒子在磁场中的运动半径．

Answer 1

分析 （1）根据题意带电粒子在平行金属板内做直线运动时，所受的电场力与洛伦兹力相等，由平衡条件即可求解
（2）画出正负粒子在磁场中运动的轨迹，根据几何关系求出半径和圆心角，洛伦兹力提供向心力，求出带负电的粒子的闭合，根据题意正负粒子在磁场中运动的时间相等，求出正粒子圆心角，求出时间表达式，即可得到正粒子的闭合，由半径公式求运动半径

解答 解：（1）根据题意带电粒子在平行金属板内做直线运动时，所受的电场力与洛伦兹力相等，由平衡条件可得：
$\frac{U}{d}q=qvB$
解得：$v=\frac{U}{dB}$…①
（2）根据题意可知，带正电的粒子进入磁场后逆时针旋转，带负电的粒子进入磁场后顺时针旋转．作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，带负电的粒子在进入磁场后，速度沿水平方向，离开磁场时速度方向垂直磁场右边界，根据图中几何关系可知，带负电的粒子的偏转角为：
${θ}_{1}^{\;}=30°=\frac{π}{6}$
带负电的粒子在磁场中做圆周运动的半径为：${r}_{1}^{\;}=\frac{d}{sin30°}=2d$…②
根据带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力可得：${q}_{1}^{\;}vB={m}_{1}^{\;}\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$…③
联立①②③得：$\frac{{q}_{1}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}=\frac{U}{2{d}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$…④
根据带正电的粒子的运动轨迹示意图可知，带正电的粒子在进入磁场时与磁场边界夹角为60°，根据图中几何关系可知，带正电的粒子在磁场中的偏转角
${θ}_{2}^{\;}=120°=\frac{2π}{3}$
根据带电粒子在磁场中做圆周运动的周期公式有：$T=\frac{2πm}{qB}$
可得带负电的粒子在磁场中运动的时间为：${t}_{1}^{\;}=\frac{{θ}_{1}^{\;}{m}_{1}^{\;}}{{q}_{1}^{\;}B}$…⑤
带正电的粒子在磁场中运动的时间为：${t}_{2}^{\;}=\frac{{θ}_{2}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{q}_{2}^{\;}B}$…⑥
根据题意可知：${t}_{1}^{\;}={t}_{2}^{\;}$…⑦
联立④⑤⑥⑦可得：$\frac{{q}_{2}^{\;}}{{m}_{2}^{\;}}=4\frac{{q}_{1}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}=\frac{2U}{{d}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$…⑧
带正电的粒子在磁场中运动时的半径为：${r}_{2}^{\;}=\frac{{m}_{2}^{\;}v}{{q}_{2}^{\;}B}$…⑨
联立①⑧⑨得：${r}_{2}^{\;}=\frac{d}{2}$
答：（1）带电粒子从发射源发出时的速度大小$\frac{U}{dB}$；
（2）带负电粒子的比荷$\frac{U}{2{d}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$和带正电粒子在磁场中的运动半径$\frac{d}{2}$

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．