Question

17．如图所示，斜面与水平面平滑连接，质量分别为m和M的B、C两物块静止的放在水平面上，另一质量为m的物块A由斜面上h高处静止释放．在以后的运动过程中B和C物块恰好只能相撞一次．假设斜面与水平面均光滑，所有碰撞均为弹性碰撞．求物块A再次在斜面上运动到最高点时上升的高度与释放高度h的比值．

Answer 1

分析 A沿斜面向下运动的过程中机械能守恒，由此即可求出A与B碰撞前的速度；由于A与B的质量相等，碰撞是弹性碰撞，所以碰撞的过程二者交换速度；B与C在光滑的水平面上碰撞的过程中也是弹性碰撞，水平方向的动量守恒，同时机械能也守恒，根据两个定律即可求出碰撞后二者的速度．由题在以后的运动过程中B和C物块恰好只能相撞一次，说明碰撞后B与C的速度大小相等，方向相反，由此求出碰撞后的速度．B返回后再次与A碰撞，交换速度，A然后沿斜面向上运动，有机械能守恒即可求出上升的高度．

解答 解：A沿斜面向下运动的过程中：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mgh$
所以：${v}_{0}=\sqrt{2gh}$…①
A与B在光滑水平面上的碰撞是弹性碰撞，所以碰撞的过程二者交换速度；B与C在光滑的水平面上碰撞的过程中也是弹性碰撞，水平方向的动量守恒，同时机械能也守恒，选择向左为正方向，得：
mv₀=mv₁+Mv₂…②
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$…③
联立②③得：${v}_{1}=\frac{m-M}{M+m}{v}_{0}$；${v}_{2}=\frac{2m{v}_{0}}{m+M}$…④
讨论：
Ⅰ．若m=M，则B的速度为0，A不可能再上升的斜面上；
Ⅱ．若m＞M，则B的速度为为正，进行向左运动，A不可能再上升的斜面上；
Ⅲ．若m＜M，则B的速度为负，A才可能再上升的斜面上．
由于B与C碰撞的过程中只是交换速度，所以最终A从斜面上再次下来后，与B发生碰撞，B的速度的方向向左，由题意，B和C物块恰好只能相撞一次，则说明B与C在第一次碰撞后二者的速度大小相等，方向相反，即：
$\frac{m-M}{M+m}{v}_{0}=-\frac{2m{v}_{0}}{m+M}$
所以：M=3m
代入④得：${v}_{1}=-\frac{1}{2}\sqrt{2gh}$  ⑤
B返回后与A碰撞并交换速度，所以A向斜面上运动的初速度是$-\frac{1}{2}\sqrt{2gh}$，向上的最大高度H，则：
mgH=$\frac{1}{2}m•（-\frac{1}{2}\sqrt{2gh}）^{2}$
联立解得：H=$\frac{1}{4}h$
答：物块A再次在斜面上运动到最高点时上升的高度与释放高度h的比值是$\frac{1}{4}$．

点评 该题考查多物体的动量守恒，其中A与B在碰撞的过程中交换速度是快速解答该题的关键．也可以由动量守恒定律和机械能的守恒来求出，但太麻烦．