Question

16．假设某天你在一个半径为R的星球上，手拿一只小球从离星球表面高h处无初速释放，测得小球经时间t落地．若忽略星球的自转影响，不计一切阻力，万有引力常量为G．求：
（1）该星球的质量M；
（2）在该星球上发射卫星的第一宇宙速度大小v．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动规律求出星球表面的重力加速度，利用重力等于万有引力求出星球质量．
（2）根据万有引力提供向心力求解星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）由运动学规律有$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
解得$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
由$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得$M=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
（2）由万有引力提供向心力有$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$v=\frac{\sqrt{2Rh}}{t}$
答：（1）该星球的质量M为$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$；
（2）在该星球上发射卫星的第一宇宙速度大小v为$\frac{\sqrt{2Rh}}{t}$．

点评 解决本题的基本思路万有引力提供向心力，在星球表面任意物体的重力等于该星球对物体的万有引力．