Question

16．在竖直平面内有一直角坐标系xOy，由A点斜向上抛出一质量为m的小球，B和C是小球运动轨迹上的两点，如图所示，其中l₀为常数，重力加速度为g，不计空气阻力，求小球经过C点时的速率．

Answer 1

分析 根据数学知识求出抛物线方程，再得到最高点的坐标，从最高点到C做平抛运动，由平抛运动的规律求时间．由平抛运动的规律求出最高点的速度，再由机械能守恒求出质点经过C点时的速率．

解答 解：设抛物线方程为：y=ax²+c
当y=0时x=l₀，代入上式得：0=al₀²+c…①
当x=2l₀时y=-3l₀，代入上式得：-3l₀=4al₀²+c…②
由①②解得：a=-$\frac{1}{{l}_{0}}$，c=l₀．
故y=-$\frac{1}{{l}_{0}}$x²+l₀
当x=0时，y=l₀
所以最高点离x轴的高度为：h=l₀
从最高点到C做平抛运动，则从最高点到B点有：h=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$，t₁=$\sqrt{\frac{2{l}_{0}}{g}}$
设质点通过最高点的速率为v．则有：v=$\frac{{l}_{0}}{{t}_{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}g{l}_{0}}$
从最高点到C点，由机械能守恒定律得：
mg•4l₀=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v_C=$\sqrt{\frac{17}{2}g{l}_{0}}$
答：质点经过C点时的速率是$\sqrt{\frac{17}{2}g{l}_{0}}$．

点评 解决本题的关键要掌握关于y轴对称的抛物线的方程一般式y=ax²+c，运用数学知识得到抛物线方程，再由运动的分解法研究抛体运动．