Question

3．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转角速度，如果超过了该角速度，星球的万有引力将不足以维持其赤道上的物体的圆周运动，则半径为R、密度为ρ、质量均匀分布的星球的最小自转周期T=$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$（万有引力常量为G）．当该星球自转的周期等于最小自转周期的两倍时，该星球表面赤道处物体的重力加速度为πρGR．

Answer 1

分析 由题意可知当周期达到某一最小值时，物体对星球表面应刚好没有压力，即万有引力恰好充当星球表面的物体在星球表面做圆周运动的向心力；故由万有引力公式可求得最小周期．

解答 解：根据$F=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$可得周期越小，物体需要的向心力越大，物体对星球表面的压力最小，当周期小到一定值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$且$M=ρ\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
得$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{Gρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}}=\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$
当该星球自转的周期等于最小自转周期的两倍时，
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}-mg=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{T{′}_{\;}^{2}}R$且T′=2T
所以$mg=\frac{3}{4}G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
$g=\frac{3}{4}G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$=$\frac{3}{4}G\frac{ρ\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}{{R}_{\;}^{2}}=πρGR$
故答案为：$\sqrt{\frac{3π}{Gρ}}$        πρGR

点评 星球表面的物体受到星球万有引力的作用充当物体的向心力及支持力，星球的转动角速度越大、周期越小时，则需要的向心力越大，则物体所受支持力越小；而当向心力大到一定值时，物体会离开星球表面．