Question

19．设雨滴下落过程受到的空气阻力与雨滴的横截面积s成正比，与雨滴下落的速度v的平方成正比，即f=kSv²（其中k为比例系数），雨滴接近地面时近似看做匀速直线运动，重力加速度为g，若把雨滴看做球形，其半径为R，球的体积为$\frac{4}{3}$πR³，横截面积S=πR²，设雨滴的密度为ρ，求：
（1）每个雨滴最终的运动速度V_m（用ρ、R、g、k表示）；
（2）雨滴的速度达到$\frac{{V}_{m}}{2}$时，雨滴的加速度a为多大？

Answer 1

分析 （1）根据共点力平衡条件和题意中有关摩擦力的关系式列式求解；
（2）先根据题意求出速度达到$\frac{{V}_{m}}{2}$时的阻力，再根据牛顿第二定律求解加速度．

解答 解：（1）当f=mg时，雨点达到最终速度v_m，则
$kS{{v}_{m}}^{2}=mg$
则有：$kS{{v}_{m}}^{2}=ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}g$，
解得：${v}_{m}=\sqrt{\frac{4ρRg}{3k}}$．
（2）由牛顿第二定律得：mg-f=ma
则有：$mg-kS（\frac{{v}_{m}}{2}）^{2}=ma$，
代入数据解得：a=$\frac{3}{4}g$．
答：（1）每个雨滴最终的运动速度为$\sqrt{\frac{4ρRg}{3k}}$；
（2）雨滴的速度达到$\frac{{V}_{m}}{2}$时，雨滴的加速度a为$\frac{3}{4}g$．

点评 本题关键是根据阻力表达式和共点力平衡条件或牛顿第二定律列式求解．难度不大．