Question

5．两颗行星的质量分别为m₁和m₂，绕太阳运行的轨道半径分别为r₁和r₂，若它们只受太阳的万有引力作用，下列说法正确的是（　　）

• A． 线速度之比为$\sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$
• B． 角速度之比为$\sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$
• C． 周期之比为$\sqrt{\frac{r_1^3}{r_2^3}}$
• D． 向心加速度之比为$\frac{{{m_1}r_1^2}}{{{m_2}r_2^2}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m{ω}^{2}r=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r=ma$，解出周期、加速度、角速度、线速度与半径的关系，相比即可．

解答 解：根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m{ω}^{2}r=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r=ma$，
得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，$a=\frac{GM}{{r}^{2}}$．
所以：
A、两颗行星的线速度之比是$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}=（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{\frac{1}{2}}$，故A正确．
B、两颗行星的角速度之比是$\frac{ω{\;}_{1}}{ω{\;}_{2}}=\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$，故B错误．
C、两颗行星运行的周期之比为$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$，故C正确．
D、两颗行星的向心加速度之比$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{{r}_{2}}^{2}}{{{r}_{1}}^{2}}$，故D错误．
故选：AC

点评 本题主要掌握万有引力提供向心力这个关系，并能根据题意选择恰当的向心力的表达式．