Question

6．如图甲所示，有一磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场，磁场边界OP与水平方向夹角为θ=45°，紧靠磁场右上边界放置长为L、间距为d的平行金属板M、N，磁场边界上的O点与N板在同一水平面上，O₁、O₂为电场左右边界中点．在两板间存在如图乙所示的交变电场（取竖直向下为正方向）．某时刻从O点竖直向上以不同初速度同时发射两个相同的质量为m、电量为+q的粒子a和b；结果粒子a恰从O₁点水平进入板间电场运动，由电场中的O₂点射出；粒子b恰好从M板左端边缘水平进入电场；不计粒子重力和粒子间相互作用，电场周期T未知；求：
（1）粒子a、b从磁场边界射出时的速度v_a、v_b；
（2）粒子a从O点进入磁场到O₂点射出电场运动的总时间t；
（3）如果金属板间交变电场的周期T=$\frac{4m}{qB}$，粒子b从图乙中t=0时刻进入电场，求要使粒子b能够穿出板间电场时E₀满足的条件

Answer 1

分析 （1）求出粒子轨道半径，应用牛顿第二定律可以求出粒子a、b从I磁场边界射出时的速度v_a、v_b．
（2）求出粒子在磁场中、在电场中、在电磁场外的运动时间，然后求出总运动时间．
（3）作出粒子在电场中的运动轨迹，应用类平抛运动规律分析答题．

解答 解：（1）如图所示，粒子a、b在磁场中匀速转过90°，平行于金属板进入电场，由几何关系可得：
${r_a}=\frac{d}{2}$，r_b=d
由牛顿第二定律可得：$q{v_a}B=\frac{mv_a^2}{r_a}$$q{v_b}B=\frac{mv_b^2}{r_b}$
解得：${v_a}=\frac{qBd}{2m}$
${v_b}=\frac{qBd}{m}$
（2）在磁场运动的周期为${T_0}=\frac{2πm}{qB}$
在磁场运动的时间：${t_1}=\frac{T_0}{4}=\frac{πm}{2qB}$
粒子在无电磁场区域做匀速直线运动，所用的时间为${t_2}=\frac{d}{{2{v_a}}}=\frac{m}{qB}$
在电场中运动时间为${t_3}=\frac{L}{v_a}=\frac{2mL}{qBd}$
a粒子全程运动的时间为t=t₁+t₂+t₃=$\frac{m}{2qBd}（πd+2d+4L）$
（3）粒子在磁场中运动的时间相同，a、b同时离开磁场，
a比b进入电场落后的时间为$△t=\frac{d}{{2{v_a}}}=\frac{m}{qB}=\frac{T}{4}$，
故粒子b在t=0时刻进入电场，而粒子a在$\frac{T}{4}$时刻进入电场
由于粒子a在电场中从O₂射出，在电场中竖直方向位移为0，
故a在电场中运动的时间t_a是周期的整数倍，
由于v_b=2v_a，
b在电场中运动的时间是${t_b}=\frac{1}{2}{t_a}$，
可见b在电场中运动的时间是半个周期的整数倍，即：${t_b}=\frac{L}{v_b}=n•\frac{T}{2}$
故$n={\frac{2L}{Tv}_b}$
粒子b在$\frac{T}{2}$内竖直方向的位移为：$y=\frac{1}{2}a{（\frac{T}{2}）^2}$
粒子在电场中的加速度为：$a=\frac{{q{E_0}}}{m}$
由题知：$T=\frac{4m}{qB}$
粒子b能穿出板间电场应满足ny≤d  
解得：${E_0}≤\frac{{q{d^2}{B^2}}}{mL}$
答：（1）粒子a、b从磁场边界射出时的速度v_a、v_b分别是：$\frac{qBd}{2m}$和$\frac{qBd}{m}$；
（2）粒子a从O点进入磁场到射出O₂点运动的总时间是$\frac{m}{2qBd}（πd+2d+4L）$；
（3）粒子b能够穿出板间电场时E₀满足的条件是${E}_{0}≤\frac{q{d}^{2}{B}^{2}}{mL}$．

点评 本题考查了带电粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是正确解题的关键，应用牛顿第二定律、粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期公式、牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题．