Question

1．某人造地球卫星在赤道上空飞行，卫星的轨道平面与地球赤道平面重合，轨道半径为r且小于同发卫星的轨道半径，飞行方向与地球的自转方向相同．设地球的自转角速度为ω₀，地球半径为R，地球表面重力加速度为g．
（1）求卫星绕地球运动的角速度．
（2）当卫星通过位于厄瓜多尔的赤道碑（如图所示）上方时开始计时，则该卫星至少经过多长时间将再次经过赤道碑上空？

Answer 1

分析 （1）根据地球表面重力等于万有引力列式；卫星受到的万有引力提供向心力，再次列式；联立求解即可；
（2）卫星下次通过该建筑物上方时比地球多转动一圈．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$…①
在地球表面附近物体重力等于万有引力，则
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$…②
联立①②得：$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}$
（2）卫星时间t将再次经过赤道碑上空，则有：
$ωt-{ω}_{0}^{\;}t=2π$
得：$t=\frac{2π}{ω-{ω}_{0}^{\;}}=\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}-{ω}_{0}^{\;}}$
答：（1）卫星绕地球运动的角速度$\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}$．
（2）当卫星通过位于厄瓜多尔的赤道碑（如图所示）上方时开始计时，则该卫星至少经过时间$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}-{ω}_{0}^{\;}}$将再次经过赤道碑上空

点评 本题关键抓住万有引力提供向心力和地球表面重力等于万有引力列方程求解，同时明确匀速圆周运动中多转动一圈是多转动2π弧度．