Question

12．中国第三颗绕月探测卫星--“嫦娥三号”计划于2013年发射，“嫦娥三号”卫星将实现软着陆、无人探测及月夜生存三大创新．假设为了探测月球，载着登陆舱的探测飞船在以月球中心为圆心，半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁，总质量为m₁．随后登陆舱脱离飞船，变轨到离月球更近的半径为r₂的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m₂，则下列有关说法正确的是（　　）

• A． 月球的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{G{T}_{1}^{2}}$
• B． 登陆舱在半径为r₂轨道上的周期T₂=T₁$\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}$
• C． 登陆舱在半径为r₁与为半径r₂的轨道上的速度比为 $\sqrt{\frac{{m}_{1}{r}_{2}}{{m}_{2}{r}_{1}}}$
• D． 月球表面的重力加速度g_月=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}_{1}^{2}}$

Answer 1

分析 1、根据万有引力提供向心力，化简可得月球的质量M．
2、根据开普勒第三定律，化简可得登陆舱在半径为r₂轨道上的周期T₂．
3、根据万有引力提供向心力可得速度之比等于二次方根下半径的反比．
4、根据牛顿第二定律，化简可得向心加速度，可以判断与月球表面的重力加速度的关系

解答 解：A、根据G$\frac{M{m}_{1}}{{r}_{1}^{2}}$=m₁r₁$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得，月球的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{G{T}_{1}^{2}}$，故A错误；
B、根据开普勒第三定律可得，T₂=$\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}$T₁，B项正确；
C、根据G$\frac{M{m}_{1}}{{r}_{1}^{2}}$=m$\frac{{V}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$可得，v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}$，同理可得，v₂=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{2}}}$，所以登陆舱在半径为r₁与为半径r₂的轨道上的速度比为$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，C项错误；
D、根据m₁r₁$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$=m₁a₁可得，载着登陆舱的探测飞船的加速度a1=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}_{1}^{2}}$，该加速度不等于星球表面的重力加速度，D项错误．
故选：B

点评 本题是典型的天体运动的问题，根据万有引力提供向心力是解决这类问题的重要的关系，要能根据题目的要求熟练选择不同的向心力的表达式