Question

10．如图所示，方向为水平向右的匀强电场中，有一质量为m=0.1kg的带电小球，所带的电荷量是q=0.01C，现用长为L=0.25m的细线悬于O点，当小球平衡时，细线和竖直方向的夹角为θ=60°，求
（1）电场强度E是多少？
（2）现给小球一个初速度，速度方向和细线垂直，使小球恰能在竖直平面内做逆时针方向的圆周运动，则圆周运动过程中速度的最小值为多少？
（3）在（2）问条件下，若当小球运动到最高点时，细线突然断了，小球将做类似斜上抛的运动，则小球以后运动过程中的最小速度是多少？（提示：用等效复合场）

Answer 1

分析 （1）当小球平衡时，合力为零，根据平衡条件求解电场强度．
（2）求出小球受到的电场力与重力的合力，作为等效重力，小球恰好完成圆周运动时，在等效最高点时，由等效重力提供向心力，此时小球速度最小，由牛顿第二定律可以求出最小速度．
（3）由动能定理求出小球通过最高点时的速度．细线断后，小球将做类似斜上抛的运动，运用运动的分解法求最小速度．

解答 解：（1）当小球平衡时，以小球为研究对象，根据平衡条件得：
  qE=mgtanθ
可得 E=$\frac{mgtanθ}{q}$=$\frac{0.1×10×tan60°}{0.01}$=$\sqrt{3}$×10²N/C
（2）可与重力场类比，等效重力为 mg′=$\sqrt{（mg）^{2}+（qE）^{2}}$=$\frac{mg}{cos60°}$=2mg
当小球恰好通过等效最高点做圆周运动时，做圆周运动的速度最小，此时由等效重力提供向心力．
由牛顿第二定律得：mg′=m$\frac{{v}_{min}^{2}}{L}$，小球的最小速度：v_min=$\sqrt{2gL}$=$\sqrt{2×10×0.25}$=$\sqrt{5}$m/s；
（3）设小球通过最高点的速度为v．
由几何关系知，等效最高点与小球的平衡位置关于O点对称，从等效最高点到最高点的过程中，根据动能定理得：
   mg′L（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{min}^{2}$
解得 v=2$\sqrt{gL}$
当小球运动到最高点时，细线突然断后，小球开始做类似斜上抛的运动，到达等效最高点时速度，最小速度为 v_min′=v_mincos60°=$\sqrt{gL}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$m/s
答：
（1）电场强度E是$\sqrt{3}$×10²N/C．
（2）圆周运动过程中速度的最小值为$\sqrt{5}$m/s．
（3）小球以后运动过程中的最小速度是$\frac{\sqrt{10}}{2}$m/s．

点评 对小球受力分析，求出电场力与合力，由牛顿第二定律即可正确解题，此题可以把二力的合力视为等效场，求出等效重力加速度，利用圆周运动和斜抛运动的研究方法解答．