Question

11．如图所示，空间有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，一个质量为m、电荷量为+q的带电小圆环套在一根固定的绝缘竖直细杆上，杆足够长，环与杆的动摩擦因数为μ．现给圆环以初速度v₀向上运动，经过时间t圆环回到出发位置．不计空气阻力．已知重力加速度为g．求当圆环回到出发位置时速度v的大小．

Answer 1

分析 对圆环受力分析，根据牛顿第二定律求解加速度的表达式，作出速度-时间图象及摩擦力和时间图象，由动量定理分析图象可求得速度大小．

解答 解：在圆环运动的过程中，圆环受向下的重力mg、水平方向的洛伦兹力qvB、细杆的弹力N和摩擦力f，其中f一直与运动方向相反，且摩擦力的大小f=μN=μqvB．
圆环向上运动的过程中做减速运动，加速度a=$\frac{mg+μqvB}{m}$；则可右加速度越来越小；
圆环向下运动的过程中做加速运动，加速度a=$\frac{mg-μqvB}{m}$，同样越来越小．
圆环从开始向上运动到回到出发位置的过程中，其速度v随时间t的变化关系如图甲所示（取竖直向上为正方向），图中图线与t轴所围面积表示圆环在对应时间内通过的路程，而圆环向上运动和向下运动所经位移大小相同，所以图中区域A与区域B面积相等．

在运动过程中，圆环所受摩擦力f=μqvB，与v成正比，所以其所受摩擦力f随时间t的变化关系应与图甲相似，但方向相反，如图乙所示，图中区域A′与区域B′的面积也相等．而在f-t图中，图线与t轴所围面积表示对应时间内阻力f的冲量，所以整个过程中f的总冲量I_f=0．
在整个过程中，根据动量定理有I_f-mgt=-mv-mv₀
所以v=gt-v₀
答：当圆环回到出发位置时速度v的大小为gt-v₀

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，要注意其中图象法的应用，明确应用图象可以把复杂的分析过程简单直观化．