Question

11．如图（俯视）所示，质量为m、半径为R的质量分布均匀的圆环静止在粗糙的足够长水平桌面上，一质量为2m的光滑小球以v₀的水平速度通过环上的小孔正对环心射入环内，与环发生第一次碰撞后到第二次碰撞前小球恰好不会从小孔穿出．若小球与环内壁的碰撞为弹性碰撞，求：
（i）第一次刚碰撞完，小球和环各自的速度大小；
（ii）圆环最终通过的总位移．

Answer 1

分析 （1）小球与环内壁发生弹性碰撞，遵守动量守恒和机械能守恒，由动量守恒定律和机械能守恒定律结合解答．
（2）小球恰好不会从小孔穿出，则第一次碰撞后，环做匀减速直线运动，设经t时间与小球速度大小相等，由此列式求时间，再由牛顿第二定律求出摩擦力，再由能量守恒求圆环最终通过的总位移．

解答 解：（i）设第一次刚碰撞完，小球和环各自的速度大小分别为v₁和v₂．
取向左为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律，有：
  2mv₀=2mv₁+mv₂
  $\frac{1}{2}$•2mv₀²=$\frac{1}{2}$•2mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²
解得：v₁=$\frac{1}{3}$v₀，v₂=$\frac{4}{3}$v₀
（ii）小球恰好不会从小孔穿出，则第一次碰撞后，环做匀减速直线运动，经t时间与小球速度大小相等，对此过程有
  $\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$•t=v₁t+2R          
解得：t=$\frac{4R}{v0}$
对环：a=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{t}$
解得：a=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4R}$）
由牛顿第二定律得：圆环所受的摩擦力大小 f=ma
多次碰撞后，环和小球最终都静止，根据能量守恒定律有
  fx=$\frac{1}{2}$•2mv₀²
解得：x=4R
答：
（i）第一次刚碰撞完，小球和环各自的速度大小分别为$\frac{1}{3}$v₀和$\frac{4}{3}$v₀；
（ii）圆环最终通过的总位移是4R．

点评 本题考查了求位移，分析清楚物体的运动过程、应用动量守恒定律、机械能守恒定律、运动学公式、动量定理即可正确解题；分析清楚物体运动过程即可正确解题．