Question

5．如图所示，某一装置由一段倾斜的粗糙直轨道和光滑的圆形轨道连接而成，轨道处于竖直平面内，直轨道与水平面的夹角θ=37°，在圆形轨道的最低点A安装有压力传感器，一个小物块在直轨道上离地面的高度为h处静止释放，沿轨道运动通过A点时压力传感器测得物块对轨道的压力F，改变h的大小可得到相应F的大小，其变化关系图如图所示，已知圆形轨道的半径R=0.24m，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，认为物块通过A点时不改变速度的大小，求：

（1）物块与直轨道间的滑动摩擦因数μ是多少？
（2）要使小物块沿圆形轨道运动到最高点，h值至少为多少？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理得到物块通过A点的速度与h的关系式，在A点，由牛顿第二定律和向心力公式列式，得到F与h的关系式，结合图象的信息，求解动摩擦因数μ．
（2）小物块刚好通过圆轨道最高点时由重力提供向心力，由向心力公式求出最高点的临界速度，再由动能定理求h的临界值．

解答 解：（1）物块在直轨道上下滑的过程，由动能定理得：
mgh-μmgcos37°•$\frac{h}{sin37°}$=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在A点，由牛顿第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
联立解得：F=mg+$\frac{mgh}{R}$（2-2μcot37°）
由数学知识和F-h图象的信息可得：
mg=2N，
则得：m=0.2kg
图象的斜率为：k=$\frac{8-2}{0.6}$=10
则有：$\frac{mg}{R}$（2-2μcot37°）=10
代入解得：μ=0.3
（2）小物块刚好通过圆轨道最高点时由重力提供向心力，则有 mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
从物块开始下滑到到达圆轨道最高点的过程，由动能定理得：
mgh-μmgcos37°•$\frac{h}{sin37°}$-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立解得：h=1m
答：（1）物块与直轨道间的滑动摩擦因数μ是0.3．
（2）要使小物块沿圆形轨道运动到最高点，h值至少为1m．

点评 本题考查了牛顿第二定律与动能定理的综合应用，分析清楚物体运动过程，应用牛顿第二定律与动能定理得到F与h的关系是解题关键，同时要把握圆周运动的临界条件：重力等于向心力．