Question

4．人造卫星是由运载火箭点火发射后送入其运行轨道的，其发射后的飞行过程大致可分为：垂直加速阶段、惯性飞行阶段和进入轨道阶段，如图所示．设地球表面g=10m/s²，地球的半径R=6.4×10³km
（1）设某次发射过程中，有一在地球表面重为 40N的物体，放置在该卫星中．在卫星垂直加速上升的过程中，且a=5m/s²时物体与卫星中的支持面的相互作用30N，则卫星此时距地面的高度是多少？
（2）当卫星进入离地高为地球半径3倍的圆形轨道运动时，它运行的速度为多少km/s？

Answer 1

分析 （1）根据卫星的加速度，通过牛顿第二定律求出当地的重力加速度，通过万有引力等于重力求出卫星距离地面的高度．
（2）卫星进入离地高为地球半径3倍的轨道时，由万有引力提供向心力，列出速度表达式．再根据物体在地面上，万有引力等于重力列式，联立可求解．

解答 解：（1）由G_重=mg可知：m=$\frac{{G}_{重}}{g}$=$\frac{40}{10}$=4kg
在卫星垂直加速上升的过程中，由牛顿第二定律得：N-mg′=ma
解得：g′=2.5m/s²．
根据G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mg，得 g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
则得，在地球表面有
   g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
在卫星现在的位置有 g′=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$
以上两式联立解得：h=R=6.4×10³km
故卫星此时距地面的高度为6.4×10³km．
（2）卫星绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力，有
  G$\frac{M{m}_{卫}}{（4R）^{2}}$=m_卫$\frac{{v}^{2}}{4R}$
由黄金代换式 GM=gR²；
联立解得：v=4km/s
故当卫星进入离地高为地球半径3倍的圆形轨道运动时，它运行的速度为4km/s
答：（1）卫星此时距地面的高度为6.4×10³km．
（2）当卫星进入离地高为地球半径3倍的圆形轨道运动时，它运行的速度为4km/s．

点评 本题关键掌握研究卫星问题的两条基本思路：一是重力等于万有引力，二是万有引力等于向心力．能熟练应用牛顿第二定律、万有引力定律公式即可正确解题．