Question

13．如图所示，细线OC的一端将质量为m=2kg的物体系住，另一端与细线AO、BO结在一起，O为结点．A端系在竖直的墙壁上，AO与墙壁间的夹角为30°，B端与另一个质量为M=5kg的物体相连，M放在倾角为30°的粗糙斜面上，OB与斜面平行，整个系统处于静止状态．最大静摩擦力可认为与滑动摩擦力相等，当地的重力加速度g=10m/s²．
（1）求OA、OB线的拉力大小．
（2）求B与斜面间动摩擦因数的最小值．
（3）保持动摩擦因数为第（2）问所计算的结果，将M的质量变为2kg．则要使M保持静止，m的质量不能超过多少？

Answer 1

分析 （1）O点受力平衡，对结点O进行受力分析，根据平衡条件列式求解OA和OB绳的拉力；
（2）对M进行受力分析，画出受力分析图，M处于静止状态，受力平衡，沿着斜面方向受力平衡，求出静摩擦力，此摩擦力即为最小静摩擦力，再结合滑动摩擦力公式列式求解；
（3）对M受力分析，求得BO绳中的拉力，再根据O点平衡求得悬挂物体m的质量大小．

解答 解：（1）O点受力平衡，对结点O进行受力分析，如图所示：

根据平衡条件得：
OA的拉力${F}_{A}=mgcos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}mg=10\sqrt{3}N$
OB的拉力${F}_{B}=mgsin30°=\frac{1}{2}mg=10N$=5N
（2）对M进行受力分析，如图所示：

M处于静止状态，受力平衡，垂直斜面方向受力平衡有：
N=Mgcos30°
沿着斜面方向受力平衡，
则f=Mgsin30°+F_B=$\frac{1}{2}（M+m）g$，
所以最大静摩擦力f_m≥f
又最大静摩擦力等于滑动摩擦力
所以有：μN≥f
解得：μ≥$\frac{f}{N}$
即动摩擦因数的最小值${μ}_{min}=\frac{\frac{1}{2}（M+m）g}{Mgcos30°}$
代入数值得：μ_min=$\frac{7\sqrt{3}}{15}$
（3）由题意知，当M=2kg时，绳OB中最大拉力
F_B=μ_minMgcos30°-Mgsin30°=4N
由（1）问知，F_B=mgsin30°
可得m最大为${m}_{m}=\frac{{F}_{B}}{gsin30°}=\frac{4}{10×\frac{1}{2}}kg=0.8kg$
答：（1）OA、OB线的拉力大小分别为$10\sqrt{3}N$和5N；
（2）B与斜面间动摩擦因数的最小值为$\frac{7\sqrt{3}}{15}$；
（3）保持动摩擦因数为第（2）问所计算的结果，将M的质量变为2kg．则要使M保持静止，m的质量不能超过0.8kg．

点评 本题为共点力平衡的题目，在解题时应注意正确选定研究对象，作好受力分析，能根据平衡条件列式求解，难度适中．