Question

20．如图，三个质量相同的滑块A、B、C，间距都为L，它们静置于同一水平轨道上．现给滑块A向右的初速度v₀，一段时间后A与B发生碰撞，碰后AB分别以$\frac{1}{8}$v₀、$\frac{3}{4}$v₀的速度向右运动，B再与C发生碰撞，碰后B、C粘在一起向右运动．滑块A、B与轨道间的动摩擦因数为同一恒定值．两次碰撞时间极短．求基本最终静止时A与BC间的距离．

Answer 1

分析 根据根据动量守恒求出碰前A的速度，然后由动能定理求出A与B碰撞前摩擦力对A做的功；B再与C发生碰撞前的位移与A和B碰撞前的位移大小相等，由于滑块A、B与轨道间的动摩擦因数为同一恒定值，所以地面对B做的功与地面对A做的功大小相等，由动能定理即可求出B与C碰撞前的速度，最后根据动量守恒求解B、C碰后瞬间共同速度的大小．根据动能定理求出A滑行的距离，并求得BC滑行的距离，由几何关系求最终静止时A与BC间的距离．

解答 解：设滑块的质量都是m，A与B碰撞前的速度为v_A，选择A运动的方向为正方向，碰撞的过程中满足动量守恒定律，得：
     mv_A=mv_A′+mv_B′
据题，v_A′=$\frac{1}{8}$v₀，v_B′=$\frac{3}{4}$v₀
解得 v_A=$\frac{7}{8}$v₀
设碰撞前A克服轨道的阻力做的功为W_A，由动能定理得：
-W_A=$\frac{1}{2}$$m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又 W_A=μmgL
解得  μ=$\frac{15{v}_{0}^{2}}{128gL}$
碰后A做匀减速运动，由动能定理得：-μmgx₁=0-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{′2}$
解得 x₁=$\frac{1}{15}$L
设B与C碰撞前的速度为v_B，碰撞前B克服轨道的阻力做的功为W_B，则 W_B=μmgL=$\frac{15m{v}_{0}^{2}}{128}$
根据动能定理得：-W_B=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{′2}$
解得 v_B=$\sqrt{\frac{21}{128}}$v₀
设B与C碰撞后的共同速度为v，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
    mv_B=2mv
代入数据解得：v=$\frac{\sqrt{21}}{16}$v₀
之后，BC一起减速到零，由动能定理得：
-μ•2mgx₂=0-$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$
解得 x₂=$\frac{7}{20}$L
所以最终静止时A与BC间距离 S=L+x₂-x₁=$\frac{77}{60}$L
答：最终静止时A与BC间距离是$\frac{77}{60}$L．

点评 该题涉及多个运动的过程，碰撞的时间极短，就是告诉我们碰撞的过程中系统受到的摩擦力可以忽略不计，直接用动量守恒定律和动能定理列式求解即可，动量守恒定律不涉及中间过程，解题较为方便．