Question

8．如图甲所示，在以O为坐标原点的xOy平面内，存在着范围足够大的电场和磁场．一个带正电小球在0时刻以v₀=3gt₀的初速度从O点沿+x方向（水平向右）射入该空间，在t₀时刻该空间同时加上如图乙所示的电场和磁场，其中电场沿+y方向（竖直向上），场强大小E₀=$\frac{mg}{q}$，磁场垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小B₀=$\frac{πm}{q{t}_{0}}$．已知小球的质量为m，带电量为q，时间单位t₀，当地重力加速度g，空气阻力不计．试求：

（1）12t₀末小球速度的大小．
（2）在给定的xOy坐标系中，大体画出小球在0到24t₀内运动轨迹的示意图．
（3）30t₀内小球距x轴的最大距离．

Answer 1

分析 （1）正确对小球进行受力分析，明确运动形式，求出圆周运动的周期和所给时间直间的关系，最后利用平抛运动规律求解；
（2）根据第一问的解答，可正确画出图象；
（3）利用运动的周期性画出30t₀内小球运动轨迹图，然后利用数学知识求解．

解答 解：（1）0～t₀内，小球只受重力作用，做平抛运动．当同时加上电场和磁场时，电场力：F₁=qE₀=mg，方向向上
因为重力和电场力恰好平衡，所以在电场和磁场同时存在时小球只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：
 qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 r=$\frac{mv}{q{B}_{0}}$
运动周期 T=$\frac{2πr}{v}$
联立解得 T=2t₀
电场、磁场同时存在的时间正好是小球做圆周运动周期的5倍，即在这10t₀内，小球恰好做了5个完整的匀速圆周运动．所以小球在t₁=12 t₀时刻的速度相当于小球做平抛运动t=2t₀时的末速度．
v_y1=g•2t₀=2gt₀
所以12t₀末小球的速度大小为  v₁=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y1}^{2}}$=$\sqrt{13}$gt₀
（2）24t₀内运动轨迹的示意图如下图所示．

（3）分析可知，小球在30t₀时与24t₀时的位置相同，在24t₀内小球做了t₂=3t₀的平抛运动，和半个圆周运动．
23t₀末小球平抛运动的竖直分位移大小为：
  y₂=$\frac{1}{2}g（3{t}_{0}）^{2}$=$\frac{9}{2}g{t}_{0}^{2}$
竖直分速度 v_y2=3gt₀
所以小球与竖直方向的夹角为θ=45°，速度大小为 v₂=3$\sqrt{2}g{t}_{0}$
此后小球做匀速圆周运动的半径 r₂=$\frac{m{v}_{2}}{q{B}_{0}}$=$\frac{3\sqrt{2}g{t}_{0}^{2}}{π}$
30t₀末小球距x轴的最大距离：y₃=y₂+（1+cos45°）r₂=（$\frac{9}{2}+\frac{3+3\sqrt{2}}{π}$）g${t}_{0}^{2}$
答：
（1）12t₀末小球速度的大小为$\sqrt{13}$gt₀．
（2）大体画出小球在0到24t₀内运动轨迹的示意图如图所示．
（3）30t₀内小球距x轴的最大距离为（$\frac{9}{2}+\frac{3+3\sqrt{2}}{π}$）g${t}_{0}^{2}$．

点评 解答带电粒子在磁场中运动的基本思路是正确受力分析，画出运动轨迹图，这类问题对学生数学知识要求较高，是考查重点和难点，要加强练习，提高解题能力．