Question

如图所示，足够长的U型金属框架放置在绝缘斜面上，斜面倾角30°，框架的宽度L=1.0m、质量M=1.0kg．导体棒ab垂直放在框架上，且可以无摩擦的运动．设不同质量的导体棒ab放置时，框架与斜面间的最大静摩擦力均为F_max=7N．导体棒ab电阻R=0.02Ω，其余电阻一切不计．边界相距d的两个范围足够大的磁场Ⅰ、Ⅱ，方向相反且均垂直于金属框架，磁感应强度均为B=0.2T．导体棒ab从静止开始释放沿框架向下运动，当导体棒运动到即将离开Ⅰ区域时，框架与斜面间摩擦力第一次达到最大值；导体棒ab继续运动，当它刚刚进入Ⅱ区域时，框架与斜面间摩擦力第二次达到最大值．求：
（1）磁场Ⅰ、Ⅱ边界间的距离d；
（2）欲使框架一直静止不动，导体棒ab的质量应该满足的条件．

Answer 1

分析：（1）导体棒即将离开Ⅰ时，金属框受到的安培力沿斜面向下，框架与斜面间摩擦力第一次达到最大值，根据平衡条件求出静摩擦力的最大值．根据安培力的表达式求出此时的速度．导体棒刚进入Ⅱ时，金属框受到的安培力沿斜面向上，根据平衡条件求出此时金属框受到的静摩擦力最大值．再由安培力表达式求出此时的速度．导体棒在两磁场边界之间做匀加速运动，由牛顿第二定律求出加速度，根据速度位移关系公式求出d．
（2）导体棒在磁场Ⅰ中已经达到最大速度做匀速运动时，根据平衡条件求出棒的质量的最小值．欲使金属框架不动，导体棒刚进入Ⅱ后电流不再增大，也做匀速运动，再由平衡条件求出棒的质量的最大值．再求出导体棒ab的质量范围．

解答：（1）导体棒即将离开Ⅰ时，金属框受到的安培力沿斜面向下，对金属框由平衡条件得：
f_max=Mgsin30°+F_A1max，
解得：F_A1max=2N，
导体棒受安培力：F_A1max=

B2L2v1

R

=2N，
解得：v₁=1m/s；
导体棒刚进入Ⅱ时，金属框受到的安培力沿斜面向上，对金属框由平衡条件得：
f_max′=F_A2max-Mgsin30°，
解得：F_A2max=12N，
导体棒受安培力：F_A2max=

B2L2v2

R

=12N，
解得：v₂=6m/s，
导体棒在两磁场边界之间运动时，由牛顿第二定律得：mgsin30°=ma，
解得：a=5m/s²，
磁场Ⅰ、Ⅱ边界间的距离：d=

v22-v12

2a

=3.5m；
（2）导体棒离开Ⅰ之前，速度至少要达到：v₁=1m/s．
设此时在磁场Ⅰ中已经达到最大速度做匀速运动，由平衡条件得：
m₁gsin30°=F_A1max，
解得：m₁=0.4kg，
欲使金属框架不动，导体棒刚进入Ⅱ后电流不再增大，做匀速运动．由平衡条件得：
M₂gsin30°=F_A2max，
解得：m₂=2.4kg，
即导体棒的质量应为：0.4kg＜m＜2.4kg．
答：（1）磁场Ⅰ、Ⅱ边界间的距离为3.5m；
（2）欲使框架一直静止不动，导体棒ab的质量应该满足的条件为：0.4kg＜m＜2.4kg．

点评：本题分析物体的受力至关重要，安培力的经验公式F=

B2L2v

R

经常用到，在推导的基础上记住，对分析导体的运动作用很大．