Question

12．如图，置于空气中的一不透明容器中盛满某种透明液体．容器底部靠近左侧器壁处有一竖直放置的6.0cm高的线光源．靠近线光源一侧的液面上盖有一遮光板，另一侧有一水平放置的与液面等高的望远镜，用来观察线光源．开始时通过望远镜看不到线光源的任何一部分．将一光源沿容器底向望远镜一侧平移至某处时，通过望远镜刚好可能看到线光源底端．再将线光源沿同一方向移动8.0cm，刚好可以看到其顶端．求此液体的折射率n．

Answer 1

分析 将一光源沿容器底向望远镜一侧平移至A处时，通过望远镜刚好可能看到线光源底端，是底端发出的光线射到遮光板右边缘，折射角恰好等于90°，此时入射角α等于临界角，如图A位置．再将线光源沿同一方向移动8.0cm，刚好可以看到其顶端，作出光路图，如图BB₁位置，此时折射角也等于90°，入射角α也等于临界角．根据几何知识∠AB₁B=α，由数学知识求出sinα，再求解折射率．

解答 解：若线光源底端在A点时，望远镜内刚好可以看到此光源底端，设过O点液面的法线为OO₁，α为临界角．由折射定律得

$sinα=\frac{1}{n}$…①
同理，若线光源顶端平移到BB₁点时，通过望远镜刚好看到线光源顶端B₁点，则有：∠AB₁B=α…②
由图中几何关系可得 $sinα=\frac{{\overline{AB}}}{{\overline{A{B_1}}}}$…③
  ${\overline{A{B_1}}^2}={\overline{AB}^2}+{\overline{B{B_1}}^2}$…④
联立②④⑤式得 $n=\frac{{\sqrt{{{\overline{AB}}^2}+{{\overline{B{B_1}}}^2}}}}{{\overline{AB}}}$…⑤
由题给条件可知 n=1.25…⑥
答：此液体的折射率n为1.25．

点评 对于几何光学临界问题，关键是作出边界光线，完成光路图，由几何知识求出入射角的正弦和折射角的正弦，再求解折射率，是常用的思路．