Question

2．一个电阻为r、边长为L的正方形线圈abcd共N匝，线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴OO′以如图所示的角速度ω匀速转动，外电路电阻为R．求：
（1）不计能量损失，线圈转一周，外界对线圈做的功；
（2）从图示位置开始，线圈转过60°的过程中通过R的电荷量；
（3）从图示位置开始计时，电阻R两端电压瞬时值u_R与时间t的关系式．

Answer 1

分析 （1）线圈转一周，外界所做的功等于产生的电能；
（2）根据法拉第电磁感应定律求出平均感应电动势，从而得出平均感应电流，根据q=$\overline{I}$t求出通过电阻R的电荷量．根据E_m=nBSω求出感应电动势的峰值，从中性面开始计时，瞬时电动势e=E_msinωt．
（3）根据欧姆定律可求得电阻R两端电压与时间t之间的表达式．

解答 解：（1）外界对线圈所做的功等于电路中产生的电能；
交流电的最大值E_m=NBSω
有效值：E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$；
周期T=$\frac{2π}{ω}$
则外力所做的功：W=EIt=$\frac{{E}^{2}}{r+R}t$=$\frac{π{N}^{2}{B}^{2}{L}^{4}ω}{R+r}$
（2）根据法拉第电磁感应定律可知：
$q=\bar I△t=\frac{{NBSsin{{60}°}}}{R+r}=\frac{{\sqrt{3}NB{L^2}}}{2（R+r）}$
（3）根据欧姆定律可知：
${u_R}={U_m}cosωt={I_m}Rcosωt=\frac{{NB{L^2}Rω}}{R+r}cosωt$
答：（1）不计能量损失，线圈转一周，外界对线圈做的功$\frac{π{N}^{2}{B}^{2}{L}^{4}ω}{R+r}$；
（2）从图示位置开始，线圈转过60°的过程中通过R的电荷量$\frac{\sqrt{3}NB{L}^{2}}{2（R+r）}$；
（3）从图示位置开始计时，电阻R两端电压瞬时值u_R与时间t的关系式u_R=$\frac{NB{L}^{2}Rω}{R+r}cosωt$．

点评 解决本题的关键掌握线圈转动产生电动势的瞬时表达式，以及知道电动势峰值的公式；同时会根据欧姆定律求解局部电路的电压和电流表达式．