Question

7．如图所示，倾角为θ=60°的粗糙直轨道AB和光滑的水平轨道BP在B点平滑相连，BP和固定于水平地面上的竖直圆柱筒的上底内表面相切于P点，圆柱筒横截面内径R=0.5m，桶高为H=0.8m．现从A点由静止释放一质量m=1kg的小球（可视为质点），小球从P点射出后再圆柱筒的内表面运动，已知小球和AB之间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB之间的高度差h=1.6m，取g=10m/s²，圆柱筒内表面光滑，求：
（1）小球运动到P点的速度；
（2）小球在圆柱筒内运动时对圆柱筒的压力；
（3）若要小球从P的正下方离开圆筒，则释放高度h应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）对于AP段，运用动能定理求出小球运动到P点的速度．
（2）小球在圆柱筒内运动时，将其运动分解为水平和竖直两个平面研究，水平面内做匀速圆周运动，由圆柱筒的弹力提供向心力，由牛顿运动定律求小球在圆柱筒内运动时对圆柱筒的压力．
（3）要小球从P的正下方离开圆筒，小球在筒内转过整数圈，根据自由落体运动的规律求出小球运动的总时间，根据总时间与水平面圆周运动周期的关系，求出P点速度的条件，再由动能定理求得h的条件．

解答 解：（1）设小球运动到P点的速度为v₀．对于AP段，运用动能定理得：
mgh-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=4m/s
（2）小球在圆柱筒内运动时，将其运动分解为水平和竖直两个平面研究，水平面内做匀速圆周运动，线速度大小等于v₀，由圆柱筒的弹力提供向心力，由牛顿第二定律得：N=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$=1×$\frac{{4}^{2}}{0.5}$N=32N
由牛顿第三定律可知，小球在圆柱筒内运动时对圆柱筒的压力为：N′=N=32N
（3）小球在圆筒时运动的总时间为：t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}$=0.4s
水平面内匀速圆周运动的周期为：T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$
要使小球从P的正下方离开圆筒，必须满足：t=nT，（n=1，2，3，…）
结合mgh-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
解得：h=0.625π²n²，（n=1，2，3，…）
答：（1）小球运动到P点的速度是4m/s；
（2）小球在圆柱筒内运动时对圆柱筒的压力是32N；
（3）若要小球从P的正下方离开圆筒，则释放高度h应满足的条件是h=0.625π²n²，（n=1，2，3，…）．

点评 解决本题的关键是运用运动的分解法研究小球在筒内的运动，可借助于假设法来理解，知道小球做的是螺旋式运动，要把握其周期性，得到时间的通项．