Question

5．如图所示，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，方向垂直于圆平面（未画出），一群相同的带电粒子以相同速度v₀从P点在纸面内向不同方向射入磁场，对这些粒子射出圆边界区域的情况，下列评说正确的是（　　）

• A． 当磁感应强度B$＜\frac{m{v}_{0}}{qR}$ 时，这些粒子几乎可以充满整个圆边界区
• B． 无论B的大小如何，射出磁场边界的总长不会超过圆周的一半
• C． 当磁感应强度B=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qR}$时，所有粒子出磁场的区域占整个圆周的三分之一
• D． 所有能从边界射出的粒子，在磁场区域中运动时间不会超过$\frac{πR}{{v}_{0}}$

Answer 1

分析 根据洛伦兹力提供向心力结合所给的磁感应强度求出粒子半径，再利用几何关系判断粒子在圆弧上射出的范围；根据周期公式结合粒子转过的圆心角求出粒子在磁场中运动的时间．

解答 解：A、B、假设粒子带正电，磁场方向垂直于纸面向里，设粒子半径为r，当磁感应强度B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$时，粒子半径r=R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，即带电粒子的轨迹半径等于圆的半径，如图所示，

射出磁场边界的总长正好等于圆周的一半；
所以当磁感应强度B$＜\frac{m{v}_{0}}{qR}$ 时，r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$＞R，如图所示

即带电粒子的轨迹半径大于圆的半径，射出磁场边界的粒子几乎可以充满整个圆边界区，故A正确，B错误；
C、当磁感应强度B=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qR}$时，粒子半径r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，如图所示，

从P入射的粒子恰好转半个圆周恰好从A点射出，
可知所有粒子出磁场的区域为$\widehat{PA}$区域，根据几何关系可得：PA=2r=$\sqrt{3}$R，∠POA=120°，
所以所有粒子出磁场的区域占整个圆周的$\frac{1}{3}$，故C正确；
D、当磁感应强度B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$时，粒子半径r=R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，垂直PO向上发射的粒子，在磁场中恰好做一个完整的圆周运动，其运动时间t=T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$＞$\frac{πR}{{v}_{0}}$，故D错误．
故选：AC．

点评 本题考查带电粒子在有界磁场中的运动，解题关键是要求出粒子在磁场中做圆周运动的半径，利用几何关系求出其在圆弧上射出的范围，本题为动圆的旋转模型，对数学几何能力要求较高．