Question

17．如图甲所示，一足够长、与水平面夹角θ=53°的倾斜轨道与竖直面内的光滑圆轨道相接，圆轨道的半径为R，其最低点为A，最高点为B．可视为质点的物块与斜轨间有摩擦，物块从斜轨上某处由静止释放，到达B点时与轨道间压力的大小F与释放的位置距最低点的高度h的关系图象如图乙所示，不计小球通过A点时的能量损失，重力加速度g=10m/s²，sin53°=$\frac{4}{5}$，cos53°=$\frac{3}{5}$，求：

（1）假设斜面光滑，物块至少从多高的位置由静止下滑才能通过圆形轨道的B点？
（2）物块与斜轨间的动摩擦因数μ；
（3）物块的质量m．

Answer 1

分析 （1）物块恰好达到B点，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律和机械能守恒结合求解；
（2）由乙图知，当h₁=5R时，物块到达B点时与轨道间压力的大小为0，此时由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出物块在B点的速度大小．对物块：从释放至到达B点过程，由动能定理求解动摩擦因数μ；
（3）设物块从距最低点高为h处释放后到达B点时速度的大小为v，根据牛顿第二定律得到F与v的关系，由动能定理得到F与h的表达式，结合图象，分析F-h图线的斜率，即可求解物体的质量m．

解答 解：（1）物块恰好达到B点时，由重力提供向心力，则有：mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
选地面为参考面，物块从释放点到达B点满足机械能守恒，有：mgh=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
得：h=2.5R
（2）由乙图可知，当h₁=5R时，物块到达B点时与轨道间压力的大小为0，设此时物块在B点的速度大小为v₁，则：
   mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
对物块从释放至到达B点过程，由动能定理得：mg（h1-2R）-μmgcosθ$\frac{{h}_{1}}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：μ=$\frac{2}{3}$
（3）设物块从距最低点高为h处释放后到达B点时速度的大小为v，则：F+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
对物块从释放至到达B点过程，由动能定理得：mg（h-2R）-μmgcosθ$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：F=$\frac{mgh}{R}$-5mg
则F-h图线的斜率：k=$\frac{mg}{R}$
由乙图可知：k=$\frac{2}{R}$
解得：m=0.2kg
答：
（1）假设斜面光滑，物块至少从2.5R高的位置由静止下滑才能通过圆形轨道的B点．
（2）物块与斜轨间的动摩擦因数μ是$\frac{2}{3}$；
（3）物块的质量m是0.2kg．

点评 本题的关键是理清物块的运动过程，把握临界条件，运用动能定理和圆周运动知识得到F与h的关系式．