Question

13．某透明体外形如图所示，它由折射率相同、半径不同的两个共轴球体组成，大球外表面镀了一层不透光物质，且大球的球心O′恰好在小球球面上，平行轴线的光束从半径为R的小球射入，会聚在轴线上的P点，光线的会聚角α=30°，真空中光速为c．求：（答案可以用三角函数表示）
①透明体的折射率；
②从两球体的交点处射入的光线，从进入透明体至到达P点的时间．

Answer 1

分析 ①根据几何关系求出入射角和折射率，再由折射定律求透明体的折射率；
②根据几何关系求出光线进入透明体至到达P点的距离，由v=$\frac{c}{n}$求光在透明体内传播速度，即可求得传播时间．

解答 解：①连接AO′，由几何关系知，折射角 r=∠OAO′+∠O′AP=45°
入射角 i=∠OAO′+∠AO′O=60
由折射定律有 n=$\frac{sini}{sinr}$
解得透明体的折射率 n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
②由几何关系可知大球半径 R′=2Rcos30°=$\sqrt{3}$R
光线在球中的传播距离 L=2R′cos15°=2$\sqrt{3}$Rcos15°
光在球内传播速度 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{6}c}{3}$
则所示时间为 t=$\frac{L}{v}$=$\frac{3\sqrt{2}Rcos15°}{c}$
答：
①透明体的折射率是$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
②从两球体的交点处射入的光线，从进入透明体至到达P点的时间是$\frac{3\sqrt{2}Rcos15°}{c}$．

点评 本题是光的折射定律和数学知识的综合应用，运用几何知识得到入射角与折射角的关系是解题的关键，要作好光路图．