Question

5．如图所示，间距为D=5cm的两平行光滑导轨EF、GH与水平面间的夹角θ=30°，一磁感应强度Bo=10T的匀强磁场垂直于轨道平面向下（图中未画出），两导轨间接有电阻R₁=30Ω，R₂=30Ω，并用导线与两平行金属板相连，导线上接有电阻R3=30Ω，两平行金属板A、B长l=8cm．两板间距离d=8cm，现在两导轨上放一金属棒ab，其质量为M=2kg，电阻r=10Ω，将其由静止释放，当达到匀速运动时，一个q=10^-10C，质量m=10^-20kg的带正电的粒子从R点沿电场中心线垂直电场线飞入电场，初速度V₀=2×10⁶m/s，粒子飞出平行板电场后经过无场区域后，进入界面为MN、PQ间匀强磁场，从磁场的PQ边界出来后刚好打在中心线上离PQ边界$\frac{4L}{3}$处的S点上，已知MN与平行板的右端相距为L，MN、PQ相距为L，且L=12cm（粒子重力不计）求：
（1）ab棒匀速运动时平行金属板A、B之间的电压U；
（2）粒子运动到MN时偏离中心线RO的距离为多少；
（3）画出粒子运动的轨迹，并求出磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析 （1）对导体棒受力分析，导体棒在重力和安培力的作用下做匀速直线运动，由平衡关系可求得棒中的电流；再由闭合电路欧姆定律可求得AB间的电压；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，由平抛运动规律可求得偏转位移；
（3）设粒子从电场中飞出时的速度方向与水平方向的夹角为θ，根据速度关系求出夹角，画出轨迹，由几何知识可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径，根据半径公式即可求解磁场强度．

解答 解：（1）两电阻并联，总电阻R=$\frac{30}{2}$=15Ω金属棒匀速运动时，棒受到的安培力等于重力的分力；
故Mgsinθ=BIL；
解得电流I=$\frac{Mgsinθ}{BL}$=$\frac{20×\frac{1}{2}}{10×0.05}$=20A；
则两电阻两端的电压U=IR=20×15=300V；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，根据牛顿第二定律得：
a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{qU}{md}$            
运动的时间为：t=$\frac{l}{{v}_{0}}$         
设粒子从电场中飞出时的侧向位移为h，穿过界面PS时偏离中心线OR的距离为y，
则：h=$\frac{1}{2}$at²         
即：h=$\frac{qU}{2md}$（$\frac{l}{{v}_{0}}$）²          
代入数据，解得：h=0.03m=3cm           
带电粒子在离开电场后将做匀速直线运动，由相似三角形知识得：$\frac{h}{y}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+L}$
代入数据，解得：y=0.12m=12cm            
（3）设粒子从电场中飞出时的速度方向与水平方向的夹角为θ，则：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{3}{4}$     
所以θ=37°
v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{2×1{0}^{6}}{0.8}$=2.5×10⁶m/s；
轨迹如图所示   
由几何知识可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径：R=$\frac{\frac{L}{2}}{sinθ}$=$\frac{0.06}{0.6}$=0.1m
由：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$      
解得：B=$\frac{mv}{qR}$
带入数值解得B=2.5×10^-3T
答：（1）AB间电压为300V；
（2）粒子进入界面MN时偏离中心线RO的距离为12cm；
（3）粒子运动的轨迹如图所示，匀强磁场的磁感应强度B的大小为2.5×10^-3T．

点评 本题考查电磁感应及带电粒子在磁场中的运动；应注意粒子的运动过程，粒子先做类平抛运动，再做匀速直线运动，最后应做圆周运动，其中最后速率保持不变是本题中的关键，也是出题人设置的一个陷阱；要求学生应认真审题，彻底明白题意才能正确求解．同时还应注意题目中的几何关系的掌握．