Question

7．如图所示，半径R的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=30°，另一端点C为轨道的最低点，过C点的轨道切线水平．C点右侧的光滑水平面上紧挨C点放置一质量为m、长为3R的木板，上表面与C点等高，木板右端固定一弹性挡板（即小物块与挡板碰撞时无机械能损失），质量为m的物块 （可视为质点）从空中A点以v₀=$\sqrt{gR}$的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．已知物块与木板间的动摩擦因数为μ=0.5．
（1）求物块经过轨道上B点时的速度的大小；
（2）求物块经过轨道上C点时对轨道的压力；
（3）分析判断木块能否脱离木板；
（4）求木板能获得的最大速度．

Answer 1

分析 （1）根据物体从A到B做平抛运动，可由平抛运动的速度关系求得在B点的速度；
（2）由B到C机械能守恒求得在C点的速度，再通过牛顿第二定律求得支持力，进而由牛顿第三定律求得压力；
（3）分析物体和木块受力，应用牛顿第二定律求得加速度，进而得到物体碰撞挡板前两者的速度；然后，根据动量守恒、机械能守恒得到碰撞后两者的速度；即可根据两者运动加速度得到两者相对位移，进而判断物体是否脱离木板；
（4）分析木板和物体的运动，得到木板达到最大速度的状态，进而求解．

解答 解：（1）质量为m的物块 （可视为质点）从空中A点以v₀=$\sqrt{gR}$的速度水平抛出，只受重力作用，做平抛运动，物体恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道，故有${v}_{B}=\frac{{v}_{0}}{cos60}=2\sqrt{gR}$；
（2）物体从B到C只受重力、支持力作用，只有重力做功，故机械能守恒，所以有$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}+mg（R+Rsinθ）=\frac{7}{2}mgR$，所以，${v}_{C}=\sqrt{7gR}$；
再对物体在C点进行受力分析，那么在竖直方向上应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$，所以，${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}=8mg$；
那么，由牛顿第三定律可得：物块经过轨道上C点时对轨道的压力为8mg；
（3）物体滑上木板后受到的合外力为f=μmg，故物体做加速度a=μg=5m/s²的减速运动，木板受到的合外力也为f=μmg，故木板做加速度a=μg=5m/s²的加速运动；
那么，两者达到相同速度$\frac{1}{2}{v}_{C}$时，物体需相对木块滑动距离$d=\frac{1}{2}（{v}_{C}+\frac{1}{2}{v}_{C}）×\frac{\frac{1}{2}{v}_{C}}{a}-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}{v}_{C}×\frac{\frac{1}{2}{v}_{C}}{a}$=$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{4a}=\frac{70R}{20}=\frac{7}{2}R$，故物体滑到木板右端与弹簧发生碰撞时，物体速度大于木板速度；
设经过时间t后，物体运动到木板右端，故有：$3R={v}_{C}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}-\frac{1}{2}a{t}^{2}=\sqrt{7gR}t-5{t}^{2}$，且$t＜\frac{\frac{1}{2}{v}_{C}}{a}$，所以，$t=\frac{\sqrt{70}-\sqrt{10}}{10}\sqrt{R}（s）$；
所以，物体运动到木板右端时，物体速度${v}_{1}={v}_{C}-at=\frac{\sqrt{70}+\sqrt{10}}{2}\sqrt{R}（m/s）$，木板速度${v}_{2}=at=\frac{\sqrt{70}-\sqrt{10}}{2}\sqrt{R}（m/s）$；
小物块与挡板碰撞时无机械能损失，故由动量守恒和机械能守恒可得碰撞后物体速度为v₁′，木板速度为v₂′，那么则有v₁′=v₂，v₂′=v₁；
之后小物块受到向右的摩擦力，木板受到向左的摩擦力一起运动，直到达到共同速度或物体掉下木板；碰撞后两者要达到共同速度需要经历时间${t}_{1}=\frac{{v}_{2}′-{v}_{1}′}{2a}=\frac{\sqrt{10}}{10}\sqrt{R}s$，
物体在木板上向左滑动的距离为${d}_{1}={v}_{2}′{t}_{1}-\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}-（{v}_{1}′{t}_{1}+\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}）$=$\frac{1}{2}R$＜3R，故物体不能脱离木板；
（4）由（3）分析可知，碰撞前木板加速运动，碰撞后模板减速运动；又有碰撞后速度大于碰撞前速度，所以，木板的最大速度为${v}_{2}′=\frac{\sqrt{70}+\sqrt{10}}{2}\sqrt{R}（m/s）$；
答：（1）物块经过轨道上B点时的速度的大小为$2\sqrt{gR}$；
（2）物块经过轨道上C点时对轨道的压力为8mg；
（3）木块不能脱离木板；
（4）木板能获得的最大速度为$\frac{\sqrt{70}+\sqrt{10}}{2}\sqrt{R}（m/s）$．

点评 经典力学问题，一般先对物体进行受力分析求得合外力，然后根据几何关系及牛顿第二定律得到运动状态；分析做功情况，即可由动能定理、能量守恒解决相关问题．