题目内容

20.小杨同学为了测量地球的质量和半径,坐船到赤道上的海面,测出当地的重力加速为g、赤道上空的地球同步通讯卫星的高度为h.已知地球自转的周期为T,万有引力常量为G.
(1)不考虑地球自转对物体重力加速度的影响,认为物体所受重力等于地球对物体的引力,用R1表示地球的半径,求R1与题目给出的已知量g、h、T、G的代数关系式(不必解出R1);
(2)为更准确求得地球的半径,就要考虑地球自转对物体重力加速度的影响,用R2表示地球的半径,求R2与题目给出的已知量g、h、T、G的代数关系式(不必解出R2).

分析 (1)根据已知量,地球的同步卫星的万有引力提供向心力,可以求出地球的质量,然后由地球表面的物体受到的重力等于万有引力可求出;
(2)考虑地球的自转,写出相应的表达式,联立即可求出对应的表达式.

解答 解:(1)地球的同步卫星的万有引力提供向心力:$\frac{GMm}{{({R}_{1}+h)}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}({R}_{1}+h)$  ①
所以:GM=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{({R}_{1}+h)}^{3}$   ②
地球表面的物体受到的重力等于万有引力,即$\frac{GMm}{{R}_{1}^{2}}=mg$,③
则联立①②③可得:$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{({R}_{1}+h)}^{3}$=$g{R}_{1}^{2}$   ④
(2)要考虑地球自转对物体重力加速度的影响,则:$\frac{GMm}{{R}_{2}^{2}}-\frac{m4{π}^{2}{R}_{2}}{{T}^{2}}=mg$  ⑤
所以得:$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}}{+gR}_{2}^{2}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}({R}_{1}+h)^{3}$ 
答:(1)R1与题目给出的已知量g、h、T、G的代数关系式为$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{({R}_{1}+h)}^{3}$=$g{R}_{1}^{2}$  
(2)R2表示地球的半径,求R2与题目给出的已知量g、h、T、G的代数关系式为$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}}{+gR}_{2}^{2}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}({R}_{1}+h)^{3}$

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力,地球的同步卫星的万有引力提供向心力,地球近地卫星所受的万有引力提供向心力.

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