题目内容

5．如图，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一档板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m．给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧运动，为保证小球不脱离圆轨道，且不会使环在竖直方向上跳起，（不计小球与环的摩擦阻力），则小球C在最低点的瞬时速度的范围可能是（　　）
A．0≤v≤$\sqrt{2gr}$B．$\sqrt{2gr}$≤v≤$\sqrt{5gr}$C．$\sqrt{5gr}$≤v≤$\sqrt{7gr}$D．$\sqrt{5gr}$≤v≤$\sqrt{8gr}$

分析 小球不脱离圆轨道，可能在圆轨道圆心下方运动，也可能做完整的圆周运动．小球在环内侧做完整的圆周运动时，通过最高点速度最小时，轨道对球的最小弹力为零，根据牛顿第二定律求出小球在最高点的最小速度；为了不会使环在竖直方向上跳起，小球在最高点对轨道的弹力不能大于2mg，根据牛顿第二定律求出最高点的最大速度，再根据机械能守恒定律求出小球在最低点的速度范围．

解答 解：小球不脱离圆轨道，可能小球在圆轨道圆心下方运动，最高点与圆心等高，由机械能守恒定律得 mgr=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，得 v=$\sqrt{2gr}$
所以小球C在最低点的瞬时速度的范围可能是0≤v≤$\sqrt{2gr}$．
小球不脱离圆轨道，也可能做完整的圆周运动．在最高点，速度最小时有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，解得v1=$\sqrt{gr}$．
根据机械能守恒定律，有：2mgr+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv1′2，解得v1′=$\sqrt{5gr}$．
不会使环在竖直方向上跳起时，在最高点，速度最大时有：mg+2mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$，解得v2=$\sqrt{3gr}$．
根据机械能守恒定律有：2mgr+$\frac{1}{2}$mv22=$\frac{1}{2}$mv2′2，解得v2′=$\sqrt{7gr}$．
所以保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，在最低点的速度范围为：$\sqrt{5gr}$≤v≤$\sqrt{7gr}$．
故选：AC

点评 本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律，关键理清在最高点的两个临界情况，求出在最高点的最大速度和最小速度，要注意本题有两种情况，不能漏解．

练习册系列答案
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10．一质点做匀加速直线运动，某时刻起发生位移x对应速度变化为△v1，紧随着发生相同位移变化为△v2，且两段位移对应时间之比为2：1，则该质点的加速度为（　　）
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