Question

1．在如图所示的坐标系中，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向．在第一、第二象限内，既无电场也无磁场，在第三象限，存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面（纸面）向里的匀强磁场，在第四象限，存在与第三象限相同的匀强电场，还有一个等腰直角三角形区域OMN，∠OMN为直角，MN边有挡板，已知挡板MN的长度为2$\sqrt{2}$L．一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上y=L处的P₁点以一定的水平初速度沿x轴负方向进入第二象限，然后经过x轴上x=-2L处的P₂点进入第三象限，带电粒子恰好能做匀速圆周运动，之后经过y轴上y=-2L处的P₃点进入第四象限．已知重力加速度为g．求：
（1）粒子到达P₂点时速度的大小和方向；
（2）第三象限空间中磁感应强度的大小；
（3）现在等腰直角三角形区域OMN内加一垂直纸面的匀强磁场，要使粒子经过磁场偏转后能打到挡板MN上，求所加磁场的方向和磁感应强度大小的范围．

Answer 1

分析 （1）带电粒子先做平抛运动，将运动分解成水平方向匀速直线运动与竖直方向自由落体运动，从而求出粒子到达P₂点时速度的大小和方向；
（2）当带电粒子进入电场、磁场与重力场中时，重力与电场力相平衡，洛伦兹力提供向心力使其做匀速圆周运动，由平衡可得出电场强度大小，再几何关系可求出磁感应强度大小．
（3）粒子最后粒子进入电场与重力场中时，做匀速直线运动，进入磁场后做匀速圆周运动，根据临界条件，画出相应的根据，结合几何关系即可求得磁感应强度的范围．

解答 解：（1）质点从P₁到P₂做平抛运动，设粒子初速度为v₀，到达P₂点时速度的大小为v，方向与x轴负方向成θ角，运动时间为t，y轴方向速度大小为v_y，则$L=\frac{1}{2}g{t^2}$，
2L=v₀t，v_y=gt
${υ^2}=υ_0^2+υ_y^2$
$tanθ=\frac{υ_y}{υ_0}$
解得：v=$2\sqrt{gL}$，方向与x轴负方向成45°角． 
（2）质点从P₂到P₃，带电粒子恰好能做匀速圆周运动，所以重力与电场力平衡．P₂P₃垂直于速度方向，粒子做匀速圆周运动的圆心在P₂P₃上，即P₂P₃是直径，设第三象限磁场磁感应强度的大小为B，圆周运动半径为R，则$qυB=m\frac{υ^2}{R}$
（2R）²=（2L）²+（2L）² 
解得 $B=\frac{{m\sqrt{2gL}}}{qL}$
（3）粒子进入等腰直角三角形区域时，速度垂直于OM，且从OM的中点进入，要使质点直接打到MN板上，根据左手定则，可知所加磁场的方向垂直纸面向外．
如图所示，当粒子进入磁场后做匀速圆周运动，偏转半径最大时恰好与ON相切，偏转半径最小时，OM的一半为圆周的直径，设最大半径为R₁，最小半径为R₂，则
${R_1}=（{R_1}+\sqrt{2}L）sin{45^0}$
解得 ${R_1}=（2+\sqrt{2}）L$
${R_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}L$
由于粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有$qυB=m\frac{υ^2}{R}$
解得  $\frac{{（2-\sqrt{2}）m\sqrt{gL}}}{qL}$＜B＜$\frac{{2m\sqrt{2gL}}}{qL}$
答：（1）粒子到达P₂点时速度的大小是$2\sqrt{gL}$，方向与x轴负方向成45°角；
（2）第三象限空间中磁感应强度的大小是$\frac{m\sqrt{2gL}}{qL}$；
（3）所加磁场的方向和磁感应强度大小的范围是 $\frac{{（2-\sqrt{2}）m\sqrt{gL}}}{qL}$＜B＜$\frac{{2m\sqrt{2gL}}}{qL}$．

点评 本题考查带电粒子在场中三种运动模型：匀速圆周运动、平抛运动和类斜抛运动，考查综合分析能力，以及空间想像的能力，应用数学知识解决物理问题的能力．