Question

3．初速为零的匀加速直线运动规律的一些推论：
（1）质点在t，2t，3t，…，nt时刻的速度之比为v₁：v₂：v₃：…：v_n=1：2：3：…：n；
（2）质点在t，2t，3t，…，nt时间内的位移之比为s₁：s₂：s₃：…：s_n=$1：{2}_{\;}^{2}：{3}_{\;}^{2}：…：{n}_{\;}^{2}$；
（3）质点连续相等时间内位移之比为s_Ⅰ：s_Ⅱ：s_Ⅲ：…：s_N=1：3：5：…（2N-1）；
（4）质点在连续相等的位移段内，连续各段所用的时间之比为$1：（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{3}-\sqrt{2}）：…：（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）$．

Answer 1

分析 本题应掌握初速度为零的匀加速直线运动的位移公式x=$\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$．第二个T秒内的位移等于前两个T秒内的位移减去第一个T秒内的位移，第三个T秒内的位移等于前三个T秒内的位移减去前两个T秒内的位移，…从而可以求出第一个T秒内、第二个T秒内、第三个T秒内…第nT秒内的位移之比；运用比例法，求出从静止开始通过连续相等的位移所用的时间之比．

解答 解：（1）根据v=at
质点在ts时速度${v}_{1}^{\;}=at$；
2t时刻速度${v}_{2}^{\;}=a•2t$；
3t时刻速度${v}_{3}^{\;}=a•3t$
…
nt时刻速度${v}_{n}^{\;}=a•nt$
所以质点在t，2t，3t，…，nt时刻的速度之比为v₁：v₂：v₃：…：v_n=1：2：3：…：n
（2）质点在t时间内位移${S}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
2t时间内的位移${S}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}a（2t）_{\;}^{2}$
3t时间的位移${S}_{3}^{\;}=\frac{1}{2}a（3t）_{\;}^{2}$
…
nt时间位移${S}_{n}^{\;}=\frac{1}{2}a（nt）_{\;}^{2}$
质点在t，2t，3t，…，nt时间内的位移之比为s₁：s₂：s₃：…：${s}_{n}^{\;}$=$1：{2}_{\;}^{2}：{3}_{\;}^{2}：…：{n}_{\;}^{2}$
（3）质点连续相等时间内位移之比为1：（${2}_{\;}^{2}-1$）：（${3}_{\;}^{2}-{2}_{\;}^{2}$）：…：（${N}_{\;}^{2}-（N-1）_{\;}^{2}$）=1：3：5：…：（2N-1）
（4）根据$x=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$，得$t=\sqrt{\frac{2x}{a}}$
质点在连续相等的位移段内，连续各段所用的时间之比$\sqrt{\frac{2x}{a}}；（\sqrt{\frac{2•2x}{a}}-\sqrt{\frac{2x}{a}}）：（\sqrt{\frac{2•3x}{a}}-\sqrt{\frac{2•2x}{a}}）$：…：（$\sqrt{\frac{2•nx}{a}}-\sqrt{\frac{2•（n-1）x}{a}}$）=$1：（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{3}-\sqrt{2}）：…：（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）$
故答案为：（1）1：2：3：…：n
（2）$1：{2}_{\;}^{2}：{3}_{\;}^{2}：…：{n}_{\;}^{2}$
（3）1：3：5：…：（2N-1）
（4）$1：（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{3}-\sqrt{2}）：…：（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）$

点评 解决本题的关键掌握初速度为0的匀变速直线运动中，第一个T内、第二个T内、第三个T内的位移之比，以及在前一个T内、前二个T内、前三个T内的位移之比．