Question

13．在一项体育游戏娱乐节目中，选手从起始点出发，中间经过一系列具有一定挑战性的关卡，在规定的时间内到达终点，即为成功．通过每一道关卡，都需要选手具备比较好的身体素质、身体柔韧性和平衡能力，并且要掌握一定的运动技巧．其中一道关卡，选手需借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论．如图所示，他们将选手简化为质量为m=60kg的质点，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向的夹角θ=53⁰，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m，绳长为L=2m．不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）求选手摆到最低点时速度v的大小；
（2）若选手摆到最高点时松手落入水中．设水对选手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求选手落入水中的深度d是多少？
（3）若选手摆到最低点时松手，小明认为绳越长，选手在浮台上的落点距岸边越远；小阳却认为绳越短，落点距岸边越远．请你通过推算说明你的观点．

Answer 1

分析 （1）选手在摆动过程中，绳子拉力不做功，只有重力做功，机械能是守恒的，应用机械能守恒定律求出运动到最低点时的速度v．
（2）选手摆到右边最高点时松手后，对整个过程，运用动能定理列式求解选手落入水中的深度d．
（3）选手在最低点松手后做平抛运动，由平抛运动知识可以求出水平距离，根据水平距离的表达式进行分析．

解答 解：（1）选手由静止摆到最低点的过程中，由机械能守恒定律得：
   $mgL（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：选手摆到最低点时速度 v=4 m/s
（2）选手从最高点落至水中深为d处的过程中，由动能定理得：
   mg（H-Lcosθ+d）-f₁d-f₂d=0
或一：选手从最高点落至水面的过程中：v²=2g（H-Lcosθ）
选手从水面落至水中深为d处的过程中：f₁+f₂-mg=ma
    0-v²=-2 a d
或二：选手从最高点落至水面的过程中：H-Lcosθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   v=gt
选手从水面落至水中深为d处的过程中：f₁+f₂-mg=ma
   0=v-a t′
   $d=\frac{1}{2}a{t'^2}$
  0-v²=-2 a d
解得：d=1.2 m
（3）选手由静止摆到最低点的过程中，由动能定理得：$mgL（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v^2}$
选手从最低点落至浮台的过程中：
水平方向：x=vt
竖直方向：$H-L=\frac{1}{2}g{t^2}$
解得：${x^2}=1.6[{\frac{9}{4}-{{（L-\frac{3}{2}）}^2}}]$
因此并不是绳越长或越短，选手在浮台上的落点距岸边越远，与绳长的范围有关，当L=1.5m时，落点距离岸边最远．
答：
（1）选手摆到最低点时速度v的大小是4m/s；
（2）选手落入水中的深度d是1.2m；
（3）不是绳越长或越短，选手在浮台上的落点距岸边越远，与绳长的范围有关，当L=1.5m时，落点距离岸边最远．

点评 本题是实际问题，解题过程中是注意对选手进行受力分析的，不要忘记阻力．对于极值问题，要根据数学知识求解．