Question

15．双星靠相互吸引绕同一固定点O转动，已知它们的质量分别为M和m，则它们的转动半径之比为R：r=m：M，设两星距离为L，则质量为M的星运动速度大小为v=$\sqrt{\frac{G{m}^{2}}{（M+m）L}}$（万有引力恒量为G）．

Answer 1

分析 “双星”围绕它们连线上的同一点为圆心做匀速圆周运动，运动过程中两者的周期、角速度相同，由对方的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律分别对两星进行列方程求解．

解答 解：设“双星”的角速度为ω，根据牛顿第二定律得
对星M：$G\frac{Mm}{{L}^{2}}=m{ω}^{2}R$   ①
对星m：$G\frac{Mm}{{L}^{2}}=m{ω}^{2}r$   ②
由①：②得R：r=m：M
所以R=$\frac{m}{M+m}L$
对于M星，万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{L}^{2}}=M\frac{{v}^{2}}{R}$
得$v=\sqrt{\frac{GmR}{{L}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{Gm}{{L}^{2}}•\frac{m}{M+m}L}$=$\sqrt{\frac{G{m}^{2}}{（M+m）L}}$
故答案为：m：M；$\sqrt{\frac{G{m}^{2}}{（M+m）L}}$

点评 “双星”是万有引力部分常见的题型，关键抓住“双星”的条件：角速度相同、周期相同，采用隔离法由牛顿第二定律研究．