Question

12．如图所示，一竖直放置、半径为R的粗糙半圆形轨道BC与一水平面AB在B点相连，B点为轨道的最低点，C点为轨道的最高点．一质量为m的小球以初速度v₀从B点进入竖直圆轨道BC，沿着圆轨道运动并恰好通过最高点C，然后做平抛运动．求：
（1）小球平抛后落地点D距B点的水平距离和到达D点时重力的功率；
（2）小球由B点沿着半圆轨道到达C点过程中，克服轨道摩擦阻力所做的功．

Answer 1

分析 （1）抓住小球恰好通过最高点C，根据牛顿第二定律求出C点的速度，根据高度求出平抛运动的时间，结合C点的速度和时间求出平抛运动的水平位移．根据D点的竖直分速度，求出重力的瞬时功率．
（2）对B到C的过程运用动能定理，求出克服摩擦力做功的大小．

解答 解：（1）小球恰好通过最高点C，有：mg=$m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{C}=\sqrt{gR}$，
根据2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
则落地点D距B点的水平距离为：x=${v}_{C}t=\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{4R}{g}}=2R$．
到达D点时竖直分速度${v}_{Dy}=\sqrt{2g•2R}$=$2\sqrt{gR}$，则重力的功率为：P=$mg{v}_{Dy}=2mg\sqrt{gR}$．
（2）对B到C的过程，根据动能定理得：$-mg•2R-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：W_f=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{5}{2}mgR$．
答：（1）小球平抛后落地点D距B点的水平距离为2R，到达D点时重力的功率为$2mg\sqrt{gR}$；
（2）小球由B点沿着半圆轨道到达C点过程中，克服轨道摩擦阻力所做的功为$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{5}{2}mgR$．

点评 本题考查了平抛运动、圆周运动与牛顿定律、动能定理的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．