Question

11．如图所以，一端开口的矩形金属框abcd的总电阻为R，开口端通过导线与电阻R相连构成闭合回路，金属线框区域内存在着方向垂直纸面向外、磁感应强度均匀增加且变化率为k的匀强磁场B₁，框内磁场所占的面积为s．平行板电容器的两金属板M和N竖直放置，并联在电阻两端，金属板M的中央有一小孔，金属板右侧存在着宽为L，作用边界与金属板平行的匀强磁场B₂，方向垂直纸面向里，一质量为m，电荷量为q的带电粒子（不计重力），由N板边缘释放，经过M板的小孔垂直进入右侧磁场，求：
（1）电容器两端的电压是多少？
（2）粒子从右侧离开磁场B₂时偏离原方向的距离是多少？

Answer 1

分析 根据法拉第电磁感应定律求出abcd中的感应电动势，进而求出MN间的电势差；
根据动能定理求出粒子离开小孔时的速度，根据 牛顿第二定律求出粒子在右边磁场中的圆周运动半径，由几何知识求出偏离原方向的距离．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律：E=$\frac{△φ}{△t}$=$\frac{△BS}{△t}$=ks
根据串联电路的分压关系电容器两端的电压U=$\frac{R}{R+R}$•E=$\frac{1}{2}$ks
（2）根据动能定理：qU=$\frac{1}{2}$mv²
v=$\sqrt{\frac{2q\frac{1}{2}ks}{m}}$=$\sqrt{\frac{kqs}{m}}$
根据牛顿第二定律：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
r=$\frac{mv}{q{B}_{2}}$=$\frac{\sqrt{kqsm}}{q{B}_{2}}$
竖直方向偏离原方向的距离是：d=r-$\sqrt{{r}^{2}-{L}^{2}}$=$\frac{\sqrt{kqsm}}{q{B}_{2}}$-$\sqrt{\frac{kqsm}{{q}^{2}{{B}_{2}}^{2}}-{L}^{2}}$
答：（1）电容器两端的电压是$\frac{1}{2}$ks；
（2）粒子从右侧离开磁场B₂时偏离原方向的距离是$\frac{\sqrt{kqsm}}{q{B}_{2}}$-$\sqrt{\frac{kqsm}{{q}^{2}{{B}_{2}}^{2}}-{L}^{2}}$．

点评 本题是粒子在磁场中匀速圆周运动和电磁感应的综合．注意本题中的电动势为感生电动势，要会正确的认清等效电路．