Question

2．如图所示，ABCO是处于竖直平面内的固定光滑轨道，AB是半径为R=15m的$\frac{1}{4}$圆周轨道，半径OA处于水平位置，BCO是半径为r=7.5m的半圆轨道．一个小球P从A点的正上方距水平面高H出自由下落，沿轨道通过O点时对轨道的压力等于重力的$\frac{5}{3}$倍，取g=10m/s²．求：
（1）小球经过O点时的速度大小；
（2）H的大小；
（3）小球沿轨道运动后再次将要落到轨道上时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）设小球通过O点的速度为v₀．在O点由重力和轨道的压力的合力提供向心力，根据向心力公式列出方程，求出v₀．
（2）小球从P点落下到运动到O点的全过程中，只有重力做功，机械能守恒，可解得H的高度；
（3）小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，根据平抛运动的规律和几何关系结合即可求解．

解答 解：（1）过O点时圆周运动的半径为r=7.5m．
在O点，由牛顿第二定律得：N+mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
已知：N=$\frac{5}{3}$mg，代入数据解得：v₀=10$\sqrt{2}$m/s；
（2）小球P从H高下落并运动到O点的全过程中，机械能守恒，
由机械能守恒定律得：mg（H-2r）=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，
代入数据解得：H=25m；
（3）小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB轨道上，
水平方向：x=v₀t，
竖直方向：y=$\frac{1}{2}$gt²，
x、y满足：x²+y²=R²，
由三式解得：t=1s，
小球落到轨道上的速度 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（gt）^{2}}$，
爱如数据解得：v=10$\sqrt{3}$m/s；
答：（1）小球经过O点时的速度大小为10$\sqrt{2}$m/s；
（2）H的大小为25m；
（3）小球沿轨道运动后再次将要落到轨道上时的速度大小为10$\sqrt{3}$m/s．

点评 整个过程中物体的机械能守恒，离开O点小球做平抛运动，直到落到轨道上，知道物体的运动过程，根据物体的不同的运动状态，采用相应的物理规律求解即可．