Question

4．在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制．如图甲所示，M、N为间距足够大的水平极板，紧靠极板右侧放置竖直的荧光屏PQ，在MN间加上如图乙所示的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直于纸面向里，图中E₀、B₀、k均为已知量．t=0时刻，比荷$\frac{q}{m}$=k的正粒子以一定的初速度从O点沿水平方向射入极板间，在0～t₁（t₁=$\frac{1}{k{B}_{0}}$）时间内粒子恰好沿直线运动，t=$\frac{5}{k{B}_{0}}$时刻粒子打到荧光屏上．不计粒子的重力，涉及图象中时间间隔时取0.8=$\frac{π}{4}$，1.4=$\sqrt{2}$，求：

（1）在t₂=$\frac{2}{k{B}_{0}}$时刻粒子的运动速度v；
（2）在t₃=$\frac{2.8}{k{B}_{0}}$时刻粒子偏离O点的竖直距离y；
（3）水平极板的长度L．

Answer 1

分析 带电粒子在交变的电场和磁场中运动情况比较复杂，既要考虑受力同时还要分析速度方向，分段计算，走一步算一步是本题的关键：
（1）在该时间段里，粒子先做匀速直线运动后做类平抛运动，末速度是水平速度和竖直速度的矢量和．
（2）在第一问的基础上，求出了末速度大小和方向，向下偏移的距离y₁也能求出．紧接着粒子只受洛仑兹力，粒子做匀速圆周运动．由于时间风好是周期的18，所以粒子又转过45°，速度方向又变为水平．由几何关系能求出圆周运动向下偏移的距离y₂，两者之和是t₃时刻的竖直位移y．
（3）同理，在以后的两个时间段里粒子相继做类平抛运动和匀速圆周运动，求出每一时间段的水平位移，那么总的板长就是这几段水平位移之和．

解答 解：（1）在0～t₁时间内，粒子在电磁场中做匀速直线运动，则：qv₀B₀=qE₀
  得${v}_{0}=\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}$                                         
  在t₁～t₂时间内，粒子在电场中做类平抛运动，
  ${v}_{y}=at=\frac{q{E}_{0}}{m}×\frac{1}{k{B}_{0}}=\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}$=v₀                    
  则$v=\sqrt{2}{v}_{0}=\frac{\sqrt{2}{E}_{0}}{{B}_{0}}$                        
  由tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$   得：θ=45°   即v与水平方向成45^o角向下
（2）在电场中做类平抛运动向下偏移：${y}_{1}=\frac{{v}_{y}}{2}t=\frac{{E}_{0}}{2k{{B}_{0}}^{2}}$                       
  在t₂～t₃时间内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动周期 $T=\frac{2πm}{q{B}_{0}}=\frac{2π}{k{B}_{0}}$
  在磁场中运动时间$t=\frac{π}{4k{B}_{0}}=\frac{1}{8}T$，即圆周运动的圆心角为 α=45°，此时速度恰好沿水平方向．
  磁场中：由$qv{B}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$得${r}_{1}=\frac{\sqrt{2}{E}_{0}}{k{{B}_{0}}^{2}}$                
  ${y}_{2}={r}_{1}（1-cos45°）=（\sqrt{2}-1）\frac{{E}_{0}}{k{{B}_{0}}^{2}}$
  偏离的竖直距离  $y={y}_{1}+{y}_{2}=（\sqrt{2}-\frac{1}{2}）\frac{{E}_{0}}{k{{B}_{0}}^{2}}$
（3）在t₃时刻进入电场时以初速度$v=\sqrt{2}{v}_{0}=\frac{\sqrt{2}{E}_{0}}{{B}_{0}}$做类平抛运动，${v}_{y}′=at=\frac{q{E}_{0}}{m}×\frac{\sqrt{2}}{k{B}_{0}}=\frac{\sqrt{2}{E}_{0}}{{B}_{0}}$
  再次进入磁场时，$v′=2{v}_{0}=\frac{2{E}_{0}}{{B}_{0}}$                     
  由tabθ=$\frac{v}{{v}_{y}′}=1$得  θ′=45°  即v′与水平方向成45^o角向下．
  由$qv′{B}_{0}=m\frac{v{′}^{2}}{{r}_{2}}$得 ${r}_{2}=\frac{2{E}_{0}}{k{{B}_{0}}^{2}}$            
  综上可得：长度$L={v}_{0}×\frac{2}{k{B}_{0}}+{r}_{1}sin45°+\sqrt{2}{v}_{0}×\frac{\sqrt{2}}{k{B}_{0}}+{r}_{2}sin45°$=$\frac{（5+\sqrt{2}）{E}_{0}}{k{{B}_{0}}^{2}}$
答：（1）在t₂=$\frac{2}{k{B}_{0}}$时刻粒子的运动速度v为$\frac{\sqrt{2}{E}_{0}}{{B}_{0}}$，方向与水平方向成45^o角向下．
（2）在t₃=$\frac{2.8}{k{B}_{0}}$时刻粒子偏离O点的竖直距离y为$（\sqrt{2}-\frac{1}{2}）\frac{{E}_{0}}{k{{B}_{0}}^{2}}$．
（3）水平极板的长度L为$\frac{（5+\sqrt{2}）{E}_{0}}{k{{B}_{0}}^{2}}$．

点评 本题是带电粒子在复杂的电场、磁场、复合场运动，一定要在每个时间段先进行受力分析，确定运动状态的初末速度大小和方向．计算一步向前走一步，才能得到正确结果，若错一步则后面步步错．特别注意的是：做类平抛运动弄清该段末速度的大小和方向，做匀速圆周运动要弄清转过的角度．