Question

6．如图所示，光滑弯曲的杆，一端固定在墙壁上的O点，小球a、b套在杆上，小球b与轻质弹簧拴接，在杆的水平部分处于静止，弹簧右端固定．将小球a自杆上高于O点h的某点释放，与b发生弹性碰撞后被弹回，恰能到达杆上高于O点$\frac{h}{4}$的位置，已知a的质量为m，求
①小球a下滑过程中受到的冲量；
②小球b的质量；
③弹簧的最大弹性势能．

Answer 1

分析 ①小球a下滑过程机械能守恒，由 机械能守恒定律求出a的速度，然后由动量定理求出冲量；
②小球a反弹过程机械能守恒，由机械能守恒定律求出a碰撞后的速度，a、b碰撞过程动量守恒、机械能守恒，应用定律守恒定律与机械能守恒定律求出b的质量；
③弹簧压缩量最大时其弹性势能最大，此时b球速度为零，对b与弹簧组成的系统应用能量守恒定律可以求出弹簧的最大弹性势能．

解答 解：①小球a下滑过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₀=$\sqrt{2gh}$，
由动量定理可知，小球a受到的冲量：I=mv₀=m$\sqrt{2gh}$；
②小球a碰撞后反弹过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：mg×$\frac{h}{4}$=$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得：v₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2gh}$，
两球碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₀=-mv₁+m_bv₂，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$m_bv₂²，
解得：m_b=3m；
③对b与弹簧组成的系统，由能量守恒定律得：
E_P=$\frac{1}{2}$m_bv₂²=$\frac{3}{4}$mgh；
答：①小球a下滑过程中受到的冲量为m$\sqrt{2gh}$；
②小球b的质量为3m；
③弹簧的最大弹性势能为$\frac{3}{4}$mgh．

点评 本题是一道力学综合题，考查了动量守恒定律的应用，分析清楚球的运动过程是解题的关键，应用机械能守恒定律、动量守恒定律与动量定理可以解题；要知道b的速度为零时弹簧压缩量最大，弹簧弹性势能最大．