Question

13．如图，把一个质量为m=0.5kg的小球用细线悬挂起来，就成为一个摆，摆长为L=0.5m．现将小球拉到偏角为θ=37°的A点，不计空气阻力．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²．
（1）若将小球由A点静止释放，
a．小球运动到最低位置时的速度多大？
b．小球运动到最低位置时细线受到的拉力多大？
（2）若在A点给小球沿切线方向的初速度v_A，要使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，求v_A的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出小球运动到最低点的速度大小，结合牛顿第二定理求出细线的拉力大小．
（2）根据牛顿第二定理求出小球恰能通过最高点的最小速度，结合动能定理求出A点的最小初速度．

解答 解：（1）a、根据动能定理得：$mgL（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得最低点的速度为：v=$\sqrt{2gL（1-cosθ）}$=$\sqrt{2×10×0.5×（1-0.8）}$m/s=$\sqrt{2}$m/s．
b、根据牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，
解得拉力为：F=mg+$m\frac{{v}^{2}}{L}$=5+0.5×$\frac{2}{0.5}$N=7N．
（2）当小球恰好在竖直平面内做圆周运动时，在最高点，根据mg=$m\frac{{v}^{2}}{L}$得最高点的最小速度为：
v=$\sqrt{gL}=\sqrt{10×0.5}$m/s=$\sqrt{5}$m/s．
根据动能定理得：-mgL（1+cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
代入数据解得A点的最小初速度为：v_A=$\sqrt{23}$m/s．
答：（1）a、小球运动到最低位置时的速度为$\sqrt{2}$m/s；
b、小球运动到最低位置时细线受到的拉力为7N．
（2）v_A的最小值为$\sqrt{23}$m/s．

点评 本题考查了动能定理和牛顿第二定律的综合运用，知道最低点和最高点的向心力来源，抓住临界状态，结合牛顿第二定律进行求解．