Question

8．如图甲所示，一长为l=1m的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动．给系统输入能量，使小球通过最高点的速度不断加快，通过传感器测得小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与小球在最高点动能E_k的关系如图乙所示，重力加速度为g，不考虑摩擦和空气阻力，请分析并回答以下问题：

（1）若要小球能做完整的圆周运动，对小球过最高点的速度有何要求？（用题中给出的字母表示）．
（2）请根据题目及图象中的条件求出小球质量m的值．（g取10m/s²）
（3）求小球从图中a点所示状态到图中b点所示状态的过程中，外界对此系统做的功．
（4）当小球达到图乙中b点所示状态时，立刻停止能量输入．之后的运动过程中，在绳中拉力达到最大值的位置，轻绳绷断，求绷断瞬间绳中拉力的大小．

Answer 1

分析 （1）在最高点，由牛顿第二定律可求小球能做完整的圆周运动满足的条件；
（2）在最高点，由牛顿第二定律并结合图象信息可求小球质量和摆线长度；
（3）由图象得斜率，根据动能定理求外界对系统做的功；
（4）应用机械能守恒定律和牛顿第二定律求绷断瞬间绳中拉力的大小．

解答 解：（1）小球刚好通过最高点做完整圆运动要求在最高点受力满足：mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，
因此小球过最高点的速度要满足：v≥$\sqrt{gl}$．
（2）小球在最高点时有：mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{l}$  又因为：E_K=$\frac{1}{2}$mv²，
所以绳对小球的拉力F与小球在最高点动能E_k的关系式为：F=$\frac{2{E}_{K}}{l}$-mg，
由图象知，当E_K=1.0J时，F=0，代入上式得到：mgl=2.0J；又已知l=1m，则小球的质量m=0.2kg．
（3）由F=$\frac{2{E}_{K}}{l}$-mg知：图线的斜率值为：$\frac{2}{l}$=2N/J，因此对应状态b，F_b=4.0N，可求出小球在最高点的动能：$\frac{{E}_{kb}-1.0}{4.0}$=$\frac{1}{2}$，于是得到：E_Kb=3.0J
对小球从状态a到状态b的过程，有：W=E_Kb-E_K=3.0-1.0=2.0J，
即：外界对系统做的功为2.0J．
（4）在停止能量输入之后，小球在重力和轻绳拉力作用下在竖直面内做圆周运动，运动过程中机械能守恒．当小球运动到最低点时，绳中拉力达到最大值．
设小球在最低点的速度为v，对从b状态开始至达到最低点的过程应用机械能守恒定律，有：mg•2l=$\frac{1}{2}$mv²-E_Kb；
设在最低点绳中拉力为F_m，由牛顿第二定律有：F_m-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，
两式联立解得：F_m=16N，
即：绷断瞬间绳中拉力的大小为16N．
答：
（1）若要小球能做完整的圆周运动，对小球过最高点的速度满足：v≥$\sqrt{gl}$；
（2）小球质量为0.2kg；摆线长度为1m；
（3）外界对此系统做的功为2.0J；
（4）绷断瞬间绳中拉力的大小为16N．

点评 本题主要考查了圆周运动向心力公式的直接应用，要求同学们能根据图象获取有效信息，难度适中．熟练运用牛顿第二定律和机械能守恒定律也是解答此题的关键．