题目内容
（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即
=k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．
（2）一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？
| a3 | T2 |
（2）一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？
分析：（1）行星绕太阳的运动按圆周运动处理时，此时轨道是圆，就没有半长轴了，此时
=k应改为
，再由万有引力作为向心力列出方程可以求得常量k的表达式；
（2）球体表面物体随球体自转做匀速圆周运动，球体有最小密度能维持该球体的稳定，不致因自转而瓦解的条件是表面的物体受到的球体的万有引力恰好提供向心力，物体的向心力用周期表示等于万有引力，再结合球体的体积公式、密度公式即可求出球体的最小密度．
| a3 |
| T2 |
| r3 |
| T2 |
（2）球体表面物体随球体自转做匀速圆周运动，球体有最小密度能维持该球体的稳定，不致因自转而瓦解的条件是表面的物体受到的球体的万有引力恰好提供向心力，物体的向心力用周期表示等于万有引力，再结合球体的体积公式、密度公式即可求出球体的最小密度．
解答：解：（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r．根据万有引力定律和牛顿第二定律有
G
=m
r
于是有
=
即 k=
所以太阳系中该常量k的表达式是
．
（2）设位于赤道处的小块物质质量为m，物体受到的球体的万有引力恰好提供向心力，
这时球体不瓦解且有最小密度，
由万有引力定律结合牛顿第二定律得：GM
=mω2R
又因ρ=
由以上两式得ρ=
．
所以球的最小密度是
．
答：（1）太阳系中该常量k的表达式是
．（2）若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是
．
G
| M太m |
| r2 |
| 4π2 |
| T2 |
于是有
| r3 |
| T2 |
| GM太 |
| 4π2 |
即 k=
| GM太 |
| 4π2 |
所以太阳系中该常量k的表达式是
| GM太 |
| 4π2 |
（2）设位于赤道处的小块物质质量为m，物体受到的球体的万有引力恰好提供向心力，
这时球体不瓦解且有最小密度，
由万有引力定律结合牛顿第二定律得：GM
| m |
| R2 |
又因ρ=
| M | ||
|
由以上两式得ρ=
| 3ω2 |
| 4πG |
所以球的最小密度是
| 3ω2 |
| 4πG |
答：（1）太阳系中该常量k的表达式是
| GM太 |
| 4π2 |
| 3ω2 |
| 4πG |
点评：本题就是考察学生对开普勒行星运动第三定律的理解和应用，掌握住开普勒行星运动第三定律和万有引力定律即可求得结果，式中的常量k必修是相对于同一个中心天体来说的．
练习册系列答案
相关题目
，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M太。
用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84×108m，月球绕地球运动的周期为2.36×106S，试计算地球的质M地。（G=6.67×10-11Nm2/kg2，结果保留一位有效数字）
，
是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量
。
m，月球绕地球运动的周期为
S，试计算地球的质量
。（
，结果保留一位有效数字）