题目内容
（2011?安徽）（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即
=k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立．经测定月地距离为3.84×108m，月球绕地球运动的周期为2.36×106S，试计算地球的质量M地．（G=6.67×10-11Nm2/kg2，结果保留一位有效数字）
| a3 | T2 |
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立．经测定月地距离为3.84×108m，月球绕地球运动的周期为2.36×106S，试计算地球的质量M地．（G=6.67×10-11Nm2/kg2，结果保留一位有效数字）
分析：（1）行星绕太阳的运动按圆周运动处理时，此时轨道是圆，就没有半长轴了，此时
=k应改为
，再由万有引力作为向心力列出方程可以求得常量k的表达式；
（2）根据（1）中得到的关系式，带入数据即可求得地球的质量．
| a3 |
| T2 |
| r3 |
| T2 |
（2）根据（1）中得到的关系式，带入数据即可求得地球的质量．
解答：解：（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r．根据万有引力定律和牛顿第二定律有
G
=m行(
)2r ①
于是有
=
M太 ②
即 k=
M太 ③
（2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得
=
M地 ④
解得 M地=6×1024kg ⑤
G
| m行M太 |
| r2 |
| 2π |
| T |
于是有
| r3 |
| T2 |
| G |
| 4π2 |
即 k=
| G |
| 4π2 |
（2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得
| R3 |
| T2 |
| G |
| 4π2 |
解得 M地=6×1024kg ⑤
点评：本题就是考察学生对开普勒行星运动第三定律的理解和应用，掌握住开普勒行星运动第三定律和万有引力定律即可求得结果，式中的常量k必修是相对于同一个中心天体来说的．
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