Question

17．如图所示，倾角为θ的固定光滑斜面底部有一垂直斜面的固定挡板C，劲度系数为k₁的轻弹簧两端分别与质量均为m的物体A和B连接，劲度系数为k₂的轻弹簧一端与A连接，另一端通过一根轻绳与一轻质小桶P相连，跨过光滑的定滑轮Q放在斜面上，B靠在挡板C处，A和B均静止．现缓慢地向小桶P内加入细砂，当B与挡板C间挤压力恰好为零时，
求：（1）小桶P内所加入的细砂质量；
（2）小桶下降的距离．

Answer 1

分析 未向小桶内加入细沙时，弹簧k₁受到的压力大小等于A的重力沿斜面向下的分力，根据胡克定律求出此时该弹簧的压缩量．当B与挡板C间挤压力恰好为零时，弹簧k₁受到的拉力等于B重力沿斜面向下的分力，弹簧k₂受到的拉力等于两个物体的总重力沿斜面向下的分力，根据胡克定律求出此时两弹簧的伸长量，再由几何关系求出小桶下降的距离．

解答 解：（1）当B与挡板C间挤压力恰好为零时，以A、B两个物体整体为研究对象，根据平衡条件得知，轻绳的拉力大小为T=2mgsinθ，
对小桶：T=m_砂g，故小桶P内加入的细砂质量为m_砂=2msinθ； 
（2）未向小桶内加入细沙时，弹簧k₁的压缩量为x₁=$\frac{mgsinθ}{{k}_{1}}$
弹簧k₂处于原长状态；
缓慢地向小桶P内加入细砂，当B与挡板C间挤压力恰好为零时，弹簧k₁的伸长量为x₁′=$\frac{mgsinθ}{{k}_{1}}$
弹簧k₂的伸长量为x₂′=$\frac{2mgsinθ}{{k}_{2}}$
根据几何关系得知，小桶下降的距离为 S=x₁+x₁′+x₂′=$\frac{2mgsinθ}{{k}_{2}}$+2$\frac{mgsinθ}{{k}_{1}}$=$\frac{2mgsinθ（{k}_{1}+{k}_{2}）}{{k}_{1}{k}_{2}}$
答：（1）小桶P内所加入的细砂质量2msinθ；
（2）小桶下降的距离离为为 $\frac{2mgsinθ（{k}_{1}+{k}_{2}）}{{k}_{1}{k}_{2}}$．

点评 对于弹簧问题，要分析初、末两个状态弹簧的变形量，再由几何关系求解小桶下降的距离，是经常采用的思路．