Question

17．如图所示（俯视图），光滑水平面内有一匝数为n，总电阻为R的线圈在外作用下以速度v向右匀速穿过两个相邻的匀强磁场区域．线圈和两磁场区域宽度均为L．磁感应强度大小分别为B、2B，方向分别为垂直水平面向下和垂直水平而向上．求：
（1）线圈刚进入磁场时外力大小F₀；
（2）试作出为维持线圈匀速运动所需的外力F与F₀的大小的比值随位移x变化的图象（令磁场左边界为x=0，不要求写出计算过程）；
（3）线圈匀速经过两磁场区域过程中所产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第定律、欧姆定律和安培力公式求出线框所受的安培力，再由平衡条件求外力大小F₀；
（2）再运用同样的方法求出线圈通过两磁场中线时外力的大小，求出F与F₀的比值，再画出图象．
（3）线圈匀速经过两磁场区域过程中所产生的热量Q等于克服安培力做的功．由功能关系求解．

解答 解：（1）线圈刚进入磁场时，根据法拉第电磁感应定律得：
    E₁=nBLv
由欧姆定律得
   I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
线框所受的安培力 F₁=nBI₁L
由平衡条件得，外力大小F₀=F₁．
联立解得 F₀=$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
（2）由上知，$\frac{x}{L}$在0-1内，$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$=1．
$\frac{x}{L}$在1-2内，根据法拉第电磁感应定律得：
  E₂=nBLv+n•2BLv=3nBLv
由欧姆定律得
  I₂=$\frac{{E}_{2}}{R}$
线框所受的安培力 F₂=nBI₂L+n•2BI₂L=3nBI₂L
由平衡条件得，外力大小F=F₂．
联立解得 F=9$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=9F₀
则 $\frac{F}{{F}_{0}}$=9．
$\frac{x}{L}$在2-3内，根据法拉第电磁感应定律得：
  E₃=n•2BLv=2nBLv
由欧姆定律得
  I₃=$\frac{{E}_{3}}{R}$
线框所受的安培力 F₃=n•2BI₃L=2nBI₃L
由平衡条件得，外力大小F=F₃．
联立解得 F=4$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=4F₀
则 $\frac{F}{{F}_{0}}$=4．
画出图象如图．
（3）线圈匀速经过两磁场区域过程中所产生的热量Q等于克服安培力做的功，则
  Q=F₁L+F₂L+F₃L=$\frac{14{n}^{2}{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$
答：
（1）线圈刚进入磁场时外力大小F₀是$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$．
（2）如图所示．
（3）线圈匀速经过两磁场区域过程中所产生的热量Q等于$\frac{14{n}^{2}{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$．

点评 本题要分段研究感应电动势、感应电流和安培力，要注意线圈通过两个磁场中线时，左右两边都要切割磁感线，产生两个感应电动势，这两个感应电动势串联，还要注意线圈的匝数．