Question

5．如图所示，长为l的细绳的一端系一小球，另一端悬于距光滑的平面上方h高处（h＜l）．当球在水平上以转速n做匀速圆周运动时，水平面受到的压力为多大？为使小球不离开平面，n的最大值是多少？

Answer 1

分析 对小球受力分析，正交分解，根据牛顿第二定律列方程求解；
要使球不离开水平面，临界情况是对水平面的压力为零，靠拉力和重力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出转动轴的最大角速度，从而得出转速的最大值．

解答 解：对小球受力分析，如图：
根据牛顿第二定律，水平方向：Tsinθ=mω²•Lsinθ
竖直方向：Tcosθ+N=mg
联立得：N=mg-mω²•Lcosθ
ω=2πn
根据牛顿第三定律：
N′=N=mg-mω²•Lcosθ=mg-mω²h=mg-4π²n²mh．
当小球对水平面的压力为零时，有：Tcosθ=mg，Tsinθ=mlsinθω²，
解得最大角速度为：ω=$\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}=\sqrt{\frac{g}{h}}$，
则最大转速为：n_max=$\frac{ω}{2π}=\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{g}{h}}$
答：水平面受到的压力为mg-4π²n²mh；
为使小球不离开平面，n的最大值是 $\frac{1}{2π}\sqrt{\frac{g}{h}}$

点评 解决本题的关键抓住小球不脱离水平面的临界状态，结合牛顿第二定律进行求解，知道角速度与转速的关系．