Question

7．如图所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做匀速圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T₁，B行星的周期为T₂，在某一时刻两行星相距最近，则（　　）

• A． 经过时间t=T₁+T₂，两行星再次相距最近
• B． 经过时间t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$，两行星再次相距最近
• C． 经过时间t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$，两行星相距最远经
• D． 经过时间t=$\frac{{T}_{1}+{T}_{2}}{2}$，两行星相距最远

Answer 1

分析 两行星相距最近时，两行星应该在同一半径方向上；两行星相距最远时，两行星应该在同一直径上；由于A的轨道半径小，所以A的角速度大，即A转得较快；当A比B多转一圈时两行星再次相距最近；当A比B多转半圈时两行星相距最远．

解答 解：A、半径越大周期越大，故由题意知，两卫星周期满足T₁＜T₂，某时刻两卫星相距最近，则可知经过时间t₁两卫星再次相距最近时，A卫星比B卫星多转过2π弧度，即有：$（\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}）{t}_{1}=2π$，解得${T}_{1}=\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$．故A错误，B正确．
C、同理当两颗卫星经过时间t₂两卫星相距最远时，A卫星比B卫星多转过π弧度，即有：$（\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}）{t}_{2}=π$，解得${t}_{2}=\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$，故C、D错误．
故选：B．

点评 根据几何关系得到两颗卫星相距最近和相距最远所满足的角度关系，最近时两卫星在同一半径上角度差为2π弧度，卫星相距最远时，两卫星在同一直径上，转过的角度差为π弧度，这是解决本题的关键．