题目内容

5．如图所示，一长为L的木板A放置在水平地面上，木板的两端分别放置着B．C两小块，三者质量分别为mA=3m．mB=2m和mc=m，A与地面、B与A、C与A间的动摩擦因数分别为$\frac{μ}{6}$、μ和2μ，开始时三者均静止，现给物块B一水平向右的初速度v0（v0=$\sqrt{\frac{5μgL}{8}}$），同时给物块C一向左的水平拉力F（F=3μmg），设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，试求：
（1）经过多长时间木板A开始运动；
（2）从A开始运动至B与C相遇的时间．

分析 （1）先求出各接触面上的最大静摩擦力，B开始运动时，假定把A与C看成整体，通过分析受力判断出A处于静止状态．由牛顿第二定律求出B和C的加速度，当B的速度减为零时，分析可以知道C对A的摩擦力大于地面对A的最大静摩擦力，此时A和B共同向左运动，由速度公式求时间．
（2）分析三个物体的运动情况，分段求出各自的位移，结合位移关系求从A开始运动至B与C相遇的时间．

解答 解：（1）各接触面上的最大静摩擦力分别为：fAm=$\frac{1}{6}$μ×6mg=μmg，fBm=fCm=2μmg
B开始运动时，假定把A与C看成整体，整体水平方向所受合力为零，而：F=3μmg＞fBm
故开始时C向左运动，A扔处于静止状态
设此时B、C的加速度大小分别为aB、aC．
由牛顿第二定律：
对B有：2μmg=2maB
对C有：3μmg-2μmg=maC
解得：aB=aC=μg
当B的速度减为零时，分析可以知道C对A的摩擦力大于地面对A的最大静摩擦力，此时A和B共同向左运动，因此A由静止开始运动需经过时间为：
   t1=$\frac{{v}_{0}}{μg}$=$\sqrt{\frac{5L}{8μg}}$．
（2）设A板开始运动前B、C的位移大小分别为xB、xC，由运动学公式得到：
   xB=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{B}}$=$\frac{5L}{16}$
因B和C的运动反向对称，故xC=xB=$\frac{5L}{16}$
且B的速度减为零时，C的速度 vC=v0
A与B共同向左作匀加速运动的过程中，对A、B整体，由牛顿第二定律可得：
     aAB=$\frac{2μmg-\frac{1}{6}×6μmg}{5m}$=$\frac{1}{5}$μg
设再经过时间t，B与C相遇，此过程中B、C所运动的位移分别为xB′、xC′，由运动学公式可以得到：
  xC′-xB′=L-xB-xC
即：v0t+$\frac{1}{2}{a}_{C}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}{a}_{AB}{t}^{2}$=L-2×$\frac{5L}{16}$
把L=$\frac{8{v}_{0}^{2}}{5μg}$代入上式可以得到：2（μg）2t2+5μgv0t-3${v}_{0}^{2}$=0
解得：t=$\frac{{v}_{0}}{2μg}$=$\sqrt{\frac{5L}{32μg}}$．
答：
（1）经过$\sqrt{\frac{5L}{8μg}}$时间木板A开始运动；
（2）从A开始运动至B与C相遇的时间是$\sqrt{\frac{5L}{32μg}}$．

点评 本题的关键要求同学们能正确分析物体的受力情况和运动情况，分段运用牛顿第二定律和运动学公式进行研究，分析时要注意判断A的运动状态．

练习册系列答案
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