题目内容
15．
如图所示，小球A以初速v0沿光滑平台向右运动，竖直静止悬挂的小球B，恰好与平台右端接触．一水平放置、半径R=0.5m的薄壁圆桶绕轴OO′匀速转动，转动角速度ω=5πrad/s，桶壁上离左端s=0.2m处开有一长度d=0.8m的长孔，孔宽略大于小球A的直径．圆桶左端和平台右端平齐，顶端距平台h=0.8m．若A、B两球发生弹性正碰时（碰撞时间极短），长孔恰好运动到桶的正上方，碰后B上摆，A沿水平方向抛射向长孔．已知v0方向、悬线和圆桶的轴线在同一竖直面上，小球B的质量为m，A的质量是B的k倍，悬线长L=0.8m，视两球为质点，g=10m/s2，不考虑空气阻力．（1）若k=2，碰后B刚好能摆到与悬点同一高度，试求初速v0的大小；
（2）试通过计算，判断（1）情形中小球A是否会和圆桶碰撞；
（3）若v0取（1）中数值，小球A落入孔中且不会与桶壁发生碰撞，试求k的取值范围．
分析 （1）根据机械能守恒求出碰后B的速度，根据动量守恒和能量守恒求出碰撞前A的初速度．
（2）根据平抛运动的规律，结合圆筒的周期分析小球A是否会和圆筒相碰．
（3）根据平抛运动的水平位移，抓住小球A不与长孔左边相碰，以及小球A不与长孔右边相碰，结合动量守恒和能量守恒的表达式求出k的范围．
解答 解：（1）小球A与B发生弹性正碰，根据动量守恒定律：
mAv0=mAvA+mBvB ①
碰撞过程无动能损失：
$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}$ ②
其中mA=kmB，
碰后小球B上摆过程，由机械能守恒定律：
$\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}={m}_{B}gL$ ③
以上三式联立，代入数值得：v0=3m/s
vB=4m/s
vA=1m/s
（2）碰后小球A做平抛运动，设下落至圆桶顶端的时间为t1，下落至底端的时间为t2，有：
$h=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$ ④
h+2R=$\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$ ⑤
解得：t1=0.4s t2=0.6s
i）圆桶转动的周期$T=\frac{2π}{ω}$=0.4s，说明小球A下落至圆桶顶端时，长孔恰好又处于圆桶的正上方．此时小球A的水平位移x1=vAt1=0.4m，s＜x1＜s+d，说明小球恰好能够落入长孔，不与桶壁相碰．
ii）小球A在桶内下落的时间△t=t2-t1=0.2s=$\frac{T}{2}$，说明小球A下落至圆桶底端时，长孔又恰好又处于圆桶的正下方．
此时小球A的水平位移x2=vAt2=0.6m，s＜x2＜s+d，说明小球A恰好能够穿出长孔，不与桶壁相碰．
（3）由（2）中分析知，小球A不与长孔左边相碰的条件为：
vAt1≥s ⑥
小球A不与长孔右边相碰的条件为：
vAt2≤s+d ⑦
由①②式可得，${v}_{A}=\frac{k-1}{k+1}{v}_{0}$ ⑧
⑥～⑧式联立，得1.4≤k≤3.5．
答：（1）初速v0的大小为3m/s；
（2）小球A是不会和圆桶碰撞；
（3）k的取值范围为1.4≤k≤3.5．
点评 本题考查了动量守恒定律、机械能守恒定律和能量守恒定律与平抛运动的综合运用，难度较大，对学生的能力要求较高，尤其第三问，需结合水平位移的范围分析判断．
阅读快车系列答案
如图所示，质量为m的汽车在平直公路上行驶，所受的阻力恒为车重的k倍．当它以速度v，加速度a加速前进时，发动机的实际功率正好等于额定功率，从该时刻起，发动机始终在额定功率下工作，重力加速度g．则以下分析正确的是（ ）| A． | 汽车发动机的额定功率为kmgv | |
| B． | 汽车行驶的最大速度为$\frac{（kg+a）v}{kg}$ | |
| C． | 当汽车加速度减小到$\frac{a}{2}$时，速度增加到2v | |
| D． | 欲使汽车最大速度增加到2倍，则发动机额定功率应增加到4倍 |
| A． |  高频冶炼炉是利用涡流来熔化金属的装置 | |
| B． |  家用电磁炉上的锅体中的涡流是由恒定磁场产生的 | |
| C． |  金属探测器靠近金属物体时，金属内会产生涡流 | |
| D． |  变压器的铁芯用相互绝缘的硅钢片叠成能减小涡流 |
| A． | 人所受的合力方向与自动扶梯运动方向相同 | |
| B． | 人在水平方向将受到向右的摩擦力的作用 | |
| C． | 人只在竖直方向受力作用，且合力为零 | |
| D． | 人在竖直方向所受力的合力不为零 |
如图所示，物块A、B质量相等，在恒力F作用下，在水平面上做匀加速直线运动．若物块与水平面间接触面光滑，物块A的加速度大小为a1，物块A、B间的相互作用力大小为N1；若物块与水平面间接触面粗糙，且物块A、B与水平面间的动摩擦因数相同，物块B的加速度大小为a2，物块A、B间的相互作用力大小为N2，则以下判断正确的是（ ）