题目内容
9．
如图所示，一圆柱形容器内，盛有很深的某种液体，其密度为水银的$\frac{1}{4}$，在容器的上方有一活塞，活塞与液面之间有L0=10cm高的密封气体，气体压强为1atm，一只管口向下的小试管竖直插入液体中，平衡时试管内外液面高度差h=4cm，试管密闭端到容器内液面的高度L=4cm，今向下缓慢移动活塞，试管将向下移动，整个过程温度不变，为使试管不沉到容器底部，活塞下移的距离不得超过多少？（不计容器内液面的变化）
分析 先结合几何关系求出气体的体积；然后正确选择研究对象，求出气体的压强；最后根据使试管恰好不沉到容器底部的临界条件，求出对应的气体的压强，由压强的公式即可求出活塞向下运动的距离．
解答 解：开始时活塞下容器内气体的压强：P0=1atm=76cmHg，
由于容器中液体的密度为水银的$\frac{1}{4}$，则4cm的该液体的高度产生的压强才等于1cm高的水银柱产生的压强．所以试管内气体的压强：
${P}_{1}={P}_{0}+\frac{1}{4}h=76+4×\frac{1}{4}=77$cmHg，
以试管为研究的对象，设试管的质量为m，横截面积为S，试管处于平衡状态，则：
mg+P0S=P1S
设液体的密度为ρ，整理得：mg=P1S-P0S=ρ•Sh•g
当活塞向下移动的过程中，气体的压强增大，则容器内的气体的压强增大，试管内的气体的压强也增大，气体的体积将减小，试管下降，当试管的底端恰好与液体的上表面平齐时，试管恰好浮在水面上，若再增大压强，则试管会沉入水底．
在试管恰好要沉入水底时，设容器内的 压强为P，试管内的压强为P1′，以试管为研究的对象，则满足：mg+PS=P1′•S
可知：P1′-P=mg=ρ•Sh•g
所以其临界条件是气体的体积恰好为：
V′=hS
而开始时气体的体积：V=（L+h）•S
气体做等温变化，由玻意耳定律得：P1V=P1′•V′
代入数据，整理得：P1′=2P1=2×77=154cmHg
此时容器内气体的压强：$P={P}_{1}′-\frac{1}{4}h=154-\frac{1}{4}×4=153$cmHg
以活塞下容器内的气体为研究的对象，当试管恰好要沉入水中时，设气体的长度为L，则有玻意耳定律得：
P0•L0=P•L
所以：L=$\frac{{P}_{0}{L}_{0}}{P}=\frac{76×10}{153}=4.97$cm
所以活塞向下移动的距离：△L=L0-L=10-4.97=5.03cm
答：活塞需要向下移动5.03cm．
点评 本题考查了求气体压强、气体温度，分析清楚气体状态变化过程，求出气体状态参量、应用玻意耳定律与查理定律即可正确解题．
寒假学与练系列答案
有一倾角θ=37°的硬杆，其上套有一下端固定于O点，劲度系数为k=100N/m的轻弹簧，弹簧的自由端位于硬杆上的Q处．硬杆OQ部分光滑，PQ部分粗糙，弹簧与杆间无摩擦．一个质量为m=1kg的小球套在此硬杆上，从P点由静止开始滑下，已知小球与硬杆间的动摩擦因数为μ=0.5，PQ间的距离为L=0.91m．弹簧的弹性势能与其形变量x的关系为Ep=$\frac{1}{2}$kx2，不计空气的阻力做功及小球与弹簧碰撞时的能量损失．（已知g=10m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8 ）．求：（1）实验中，小车会受到摩擦阻力的作用，可以在不加橡皮筋时，使木板适当倾斜来平衡摩擦阻力．下面操作正确的是D
A．放开小车，能够自由下滑即可
B．放开小车，能够匀速下滑即可
C．放开拖着纸带的小车，能够自由下滑即可
D．放开拖着纸带的小车，能够匀速下滑即可
（2）关于本实验的操作，下列叙述正确的是CD
A．每次实验必须设法算出橡皮筋对小车做功的具体数值
B．每次实验中，橡皮筋拉伸的长度没有必要保持一致
C．实验时，应使小车靠近打点计时器并由静止释放
D．先接通打点计时器电源，再让小车在橡皮筋的作用下弹出
（3）在正确操作的情况下，打在纸带上的点并不都是均匀的．如图2为第三次实验中通过打点计时器获得的纸带，其中每两个计数点间还有一个点未标出．已知打点计时器使用的交流电周期为0.02s．为了测量小车获得的速度，应选图2中的CD段（填AB或CD）来计算小车的速度v．
（4）表是本实验的数据记录表，根据图2填写第三次实验的数据
| 数据 物理量 | 橡皮筋做的功 | 小车获得的速度vn | 小车速度的平方vn2 |
| 1 | W | 1.00 | 1.00 |
| 2 | 2W | 1.40 | 1.96 |
| 3 | 3W | ||
| 4 | 4W | 1.98 | 3.92 |
| 5 | 5W | 2.24 | 5.02 |
（6）根据图象分析，得到的结论是W∝v2．
在匀强磁场中，一矩形金属线圈绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图甲所示，产生的交变电动势的图象如图乙所示，则（ ）| A． | t=0.005s时线圈平面与磁场方向平行 | |
| B． | t=0.01s时线圈的磁通量变化率最大 | |
| C． | 线圈产生的交变电动势频率为50Hz | |
| D． | 线圈产生的交变电动势有效值为311 V |
细绳拴一个质量为m的小球将固定在墙上的轻质弹簧压缩，小球与弹簧不粘连．距地面的高度为h，如图所示．现将细线烧断，不计空气阻力，则（ ）| A． | 小球的加速度始终为g | |
| B． | 小球离开弹簧后机械能一直增大 | |
| C． | 小球离开弹簧后在空中做平抛运动 | |
| D． | 小球落地前瞬间的动能一定大于mgh |
如图所示，质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h．若以小球释放的初始位置为参考平面，那么，小球落地时的机械能及整个过程中重力势能的变化分别是（ ）| A． | 0，减少mg（H-h） | B． | 0，减少mg（H+h） | C． | mgh，减少mg（H-h） | D． | mgH，减少mg（H+h） |
如图所示，质量为1t的汽车以10m/s的速度通过半径R=40m的拱桥桥顶时，车对桥顶的压力是多少？为使汽车能安全通过桥顶（汽车不脱离桥面），汽车驶上桥顶时速度不得超过多少？
一质量为m的质点，系在轻绳的一端，绳的另一端固定在水平面上，水平面粗糙．此质点在该 水平面上做半径为r的圆周运动，设质点的最初速率是v0，滑动摩擦力大小恒定，当它运动一周时，其速率变为$\frac{{v}_{0}}{2}$，则（ ）| A． | 当它运动一周时摩擦力做的功为-$\frac{3}{8}$mv${\;}_{0}^{2}$ | |
| B． | 质点与水平面的动摩擦因数为μ=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{16πrg}$ | |
| C． | 质点在运动了两个周期时恰好停止 | |
| D． | 当质点运动一周时的向心加速度大小为$\frac{{v}_{0}^{2}}{4r}$ |
| A． | 它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 | |
| B． | 它是人造地球卫星在近地圆形轨道上的运动速度 | |
| C． | 它是使卫星进入正常轨道动动的最大发射速度 | |
| D． | 它是人造地球卫星在圆形轨道上的最大环绕速度 |