Question

18．一质量为m的质点，系在轻绳的一端，绳的另一端固定在水平面上，水平面粗糙．此质点在该 水平面上做半径为r的圆周运动，设质点的最初速率是v₀，滑动摩擦力大小恒定，当它运动一周时，其速率变为$\frac{{v}_{0}}{2}$，则（　　）

• A． 当它运动一周时摩擦力做的功为-$\frac{3}{8}$mv${\;}_{0}^{2}$
• B． 质点与水平面的动摩擦因数为μ=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{16πrg}$
• C． 质点在运动了两个周期时恰好停止
• D． 当质点运动一周时的向心加速度大小为$\frac{{v}_{0}^{2}}{4r}$

Answer 1

分析 质点在水平面上做圆周运动的过程中，只有摩擦力做功，根据动能定理求出质点运动一周时摩擦力做的功．质点运动一周时摩擦力做的功W=-μmg•2πr，求出μ．根据动能定理求出质点速度减至零时通过的路程．根据向心加速度公式直接求解向心加速度．

解答 解：A、设质点运动一周时摩擦力做的功为W，根据动能定理得：W=$\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-\frac{3}{8}m{{v}_{0}}^{2}$．故A正确．
B、W=-$-\frac{3}{8}m{{v}_{0}}^{2}$，又W=-μmg•2πr，解得：μ=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{16πrg}$．故B正确．
C、设质点在运动了n周时停止，由动能定理得，-μmg•n•2πr=0-$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，n=1.33，所以质点在运动不到两个周期停止运动．故C错误．
D、当质点运动一周时质点的向心加速度大小为a_n=$\frac{（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}}{r}=\frac{{v}_{0}^{2}}{4r}$，故D正确．
故选：ABD

点评 本题是动能定理、向心加速度等知识的综合应用，要注意滑动摩擦力做功与路程有关，难度适中．